Ce que demande cette question

La question 11 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2011 vous confronte à un système d'équations non linéaire à deux inconnues, notées x et y, qui dépend également d'un paramètre réel m. La première équation du système est une équation du second degré représentant une ellipse, bien que la connaissance explicite des coniques ne soit pas strictement exigée, la manipulation algébrique l'est. La seconde équation est une équation linéaire représentant une droite dont la pente varie en fonction du paramètre m.

L'objectif de cet exercice est d'évaluer votre capacité à discuter du nombre de solutions d'un système en fonction d'un paramètre. Les quatre affirmations vous demandent de vérifier des situations précises. On vous interroge d'abord sur l'existence systématique d'au moins une solution, quelle que soit la valeur attribuée au paramètre m. Ensuite, vous devez tester un couple de solutions spécifique pour une valeur donnée de m comportant une racine carrée. Les deux dernières affirmations vous imposent de déterminer le nombre exact de solutions, qu'il s'agisse de deux solutions distinctes ou d'une solution unique, pour des valeurs particulières ou générales du paramètre. Il s'agit donc d'un exercice d'algèbre pure nécessitant rigueur et méthode.

Les notions à maîtriser

• La résolution par substitution : savoir isoler une inconnue dans une équation linéaire, ici y en fonction de x et m, pour l'injecter dans une équation du second degré.
• Les équations du second degré : maîtriser le calcul du discriminant et son interprétation pour déterminer le nombre de solutions réelles d'une équation quadratique.
• La discussion selon un paramètre : être capable d'exprimer un discriminant en fonction d'un paramètre m et d'étudier le signe de cette nouvelle expression.
• Le calcul algébrique avec des radicaux : savoir manipuler des racines carrées et des fractions sans faire d'erreurs de signe ou de simplification lors de la vérification d'un couple solution.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est réputé pour sa gestion du temps extrêmement serrée et son système de notation spécifique. Dans l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques, vous disposez de deux heures pour traiter quinze questions, chacune comportant quatre affirmations.

Face à un système paramétré comme celui-ci, la méthode la plus sûre consiste à exprimer y en fonction de x à partir de la seconde équation, puis à substituer cette expression dans la première. Vous obtiendrez ainsi une équation du second degré en x, dont les coefficients dépendront de m. Le calcul du discriminant de cette équation est la clé de voûte de l'exercice : son signe vous dictera le nombre de points d'intersection entre la droite et la courbe.

Prenez garde aux erreurs de calcul lors du développement des carrés, notamment avec l'expression de y au carré qui nécessite d'appliquer correctement les identités remarquables. Un signe moins oublié ou un coefficient mal multiplié faussera l'intégralité de votre discussion sur le paramètre.

Enfin, gardez toujours à l'esprit le barème du concours ACCÈS. Une mauvaise réponse est pénalisée et vous fait perdre des points, tandis qu'une absence de réponse ne vous rapporte ni ne vous enlève de points. Une erreur coûte donc plus cher qu'une abstention. Si le calcul du discriminant paramétré vous semble trop chronophage ou si vous doutez de votre développement, il est parfois stratégique de ne répondre qu'aux affirmations que vous pouvez vérifier rapidement et de laisser les autres vierges pour sécuriser votre score.