Ce que demande cette question
La question 12 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique du concours ACCÈS 2013 vous confronte à une étude de fonction relativement classique mais très complète. L'énoncé vous donne une fonction définie sur un intervalle ouvert par la somme d'une fonction affine et d'une fonction rationnelle. À partir de cette unique expression, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations indépendantes qui balayent une large partie du programme d'analyse de terminale.
La première affirmation vous demande simplement de vérifier les coordonnées du point d'intersection entre la courbe représentative de la fonction et l'axe des ordonnées. La deuxième affirmation vous invite à calculer une intégrale définie sur un intervalle fermé, ce qui implique de déterminer correctement une primitive de la fonction proposée. La troisième affirmation porte sur l'identification d'une asymptote à la courbe, en testant vos connaissances sur les équations de droites asymptotiques. Enfin, la dernière affirmation complexifie le problème en introduisant une nouvelle fonction construite par la composition du logarithme népérien avec la fonction initiale, dont vous devez déterminer le sens de variation sur tout son domaine de définition.
Les notions à maîtriser
- Intersection avec les axes : savoir calculer l'image de zéro pour trouver l'ordonnée à l'origine d'une courbe représentative.
- Calcul intégral : connaître les primitives usuelles, en particulier celles de la forme inverse pour faire apparaître un logarithme népérien lors de l'intégration.
- Asymptotes et limites : distinguer formellement les équations des asymptotes verticales (de la forme x = a) et horizontales (de la forme y = b).
- Dérivation et composition : maîtriser la formule de la dérivée d'une fonction composée, notamment la dérivée de ln(u) qui s'exprime par le quotient u'/u.
- Étude de variations : savoir étudier le signe d'une dérivée impliquant des fractions rationnelles pour en déduire la monotonie globale de la fonction.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour son exigence en matière de gestion du temps et de précision. Face à une question d'analyse multiple comme celle-ci, il est impératif de procéder avec méthode. Ne vous lancez pas dans des calculs de dérivées complexes si vous n'êtes pas certain de votre démarche. Prenez le temps de lire attentivement chaque affirmation, car certaines peuvent être résolues par simple lecture ou par un raisonnement rapide, tandis que d'autres nécessitent de poser rigoureusement les équations au brouillon.
Méfiez-vous particulièrement des pièges de vocabulaire et de notation. Par exemple, une équation de la forme y = constante désigne toujours une droite horizontale, ce qui rend l'affirmation sur l'asymptote verticale immédiatement suspecte. De même, lors du calcul de l'intégrale, soyez rigoureux avec les bornes et les propriétés du logarithme pour ne pas faire d'erreur de signe. Pour l'étude de la fonction composée, rappelez-vous que la croissance de ln(u) dépend directement du signe de la dérivée de u, mais nécessite aussi de vérifier que u reste strictement positive sur l'intervalle donné.
Enfin, gardez toujours à l'esprit le système de notation spécifique du concours ACCÈS. Une mauvaise réponse entraîne des points de pénalité qui viendront amputer votre score global. Si, après avoir posé votre calcul pour la dérivée ou l'intégrale, vous n'aboutissez pas avec certitude au résultat proposé par l'affirmation, il est souvent préférable de s'abstenir de répondre. Une absence de réponse ne rapporte aucun point, mais elle vous protège d'une sanction qui pourrait vous coûter cher au classement final. Privilégiez la sécurité et la justesse mathématique.