Ce que demande cette question
La question 10 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2011 vous confronte à un grand classique : l'étude croisée d'une fonction et d'une suite définie par une relation de récurrence. L'énoncé présente une fonction homographique définie sur un intervalle ouvert spécifique. On vous donne également l'équation de la première bissectrice, servant de droite de référence pour l'étude des points fixes. Ensuite, le sujet introduit une suite numérique dont le premier terme est donné et dont la relation de passage d'un terme au suivant s'appuie sur la fonction.
Votre objectif est d'analyser les quatre affirmations en mobilisant vos connaissances en analyse. Les deux premières propositions demandent de vérifier l'existence de solutions pour une équation du second degré sur l'intervalle, et de faire le lien géométrique avec l'intersection entre la courbe et la droite d'équation y = x. Les deux dernières affirmations se concentrent sur le comportement de la suite. Vous devez déterminer si elle est majorée par une certaine valeur et si elle est strictement croissante, ce qui nécessite d'étudier le signe de la différence entre deux termes consécutifs.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec plusieurs concepts fondamentaux :
- La résolution d'équations du second degré : savoir calculer un discriminant, trouver les racines et vérifier si elles appartiennent à un intervalle restreint.
- L'interprétation graphique : comprendre que résoudre f(x) = x revient à chercher les abscisses des points d'intersection entre la courbe et la première bissectrice.
- L'étude des suites récurrentes : maîtriser les techniques permettant de démontrer qu'une suite est majorée ou minorée, notamment par récurrence.
- Le sens de variation : savoir étudier le signe de la différence entre un terme et son précédent pour conclure sur la monotonie globale de la suite.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Le concours ACCÈS exige une grande rigueur. Face à une question mêlant suites et fonctions, la méthode la plus efficace consiste à traiter les affirmations dans l'ordre. La résolution de l'équation du second degré de la première affirmation donne directement les points fixes de la fonction, ce qui valide ou invalide la deuxième affirmation par simple déduction géométrique. Ne perdez pas de temps à refaire des calculs inutiles.
Un piège classique est de confondre le sens de variation de la fonction avec celui de la suite. Rappelez-vous que si une fonction est croissante, cela indique seulement que la suite est monotone, son sens dépendant de la position du premier terme par rapport au point fixe. Prenez le temps de calculer les premiers termes au brouillon pour conjecturer le comportement de la suite avant de vous lancer dans une démonstration formelle.
Enfin, gardez à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve. Chaque question comporte quatre affirmations à évaluer. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée, car une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Si vous n'arrivez pas à démontrer formellement la majoration de la suite et que le calcul des premiers termes ne donne pas une certitude absolue, il est préférable de vous abstenir sur cette affirmation précise plutôt que de risquer de perdre vos points.