Ce que demande cette question
Dans cette huitième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2019, vous êtes confronté à un grand classique des sujets de concours : l'étude croisée d'une suite définie par récurrence et d'une suite auxiliaire. L'énoncé vous présente une première suite dont le terme suivant s'obtient en prenant la racine carrée du terme précédent, avec un premier terme égal à la constante de Néper. Ensuite, une seconde suite est introduite en appliquant la fonction logarithme népérien à la première.
Votre objectif principal est d'analyser la nature de cette seconde suite pour pouvoir vous prononcer sur les quatre affirmations proposées. Vous devrez notamment vérifier si cette suite auxiliaire possède une nature arithmétique ou géométrique en calculant son expression en fonction du rang. Une fois cette nature identifiée, le sujet vous demande d'évaluer une somme de termes consécutifs de la suite auxiliaire, puis un produit de termes de la suite initiale. Enfin, la dernière affirmation vous invite à calculer la limite de ce produit lorsque le rang tend vers l'infini. Il s'agit donc d'un exercice complet qui teste votre capacité à lier les propriétés des suites avec celles des fonctions usuelles.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts suivants :
- Les propriétés de la fonction logarithme népérien : savoir transformer le logarithme d'une racine carrée ou d'un produit est indispensable pour simplifier les expressions demandées.
- Les suites géométriques : vous devez savoir démontrer qu'une suite est géométrique, identifier sa raison et exprimer son terme général en fonction de son rang.
- Le calcul de sommes : il est impératif de connaître sur le bout des doigts la formule donnant la somme des premiers termes d'une suite géométrique.
- Le lien entre somme et produit : comprendre comment le logarithme transforme un produit de termes en une somme de logarithmes est la clé pour résoudre la deuxième partie de l'exercice.
- Le calcul de limites : vous devez savoir déterminer la limite d'une somme de termes d'une suite géométrique dont la raison est comprise entre zéro et un.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
La principale difficulté de ce type d'exercice réside dans la rigueur des calculs algébriques. Une simple erreur de signe ou une confusion dans l'application des formules du logarithme peut vous conduire à valider une affirmation fausse. Prenez toujours le temps d'écrire les premières étapes de votre raisonnement au brouillon. Par exemple, exprimez clairement le lien entre le logarithme de la racine carrée et le logarithme du nombre lui-même avant de conclure sur la nature de la suite auxiliaire.
Concernant les sommes et les produits, soyez extrêmement vigilant sur le nombre de termes. Dans cet énoncé, les indices vont de zéro à un certain entier, ce qui signifie qu'il y a un terme de plus que la valeur de l'indice final. C'est un piège classique dans lequel de nombreux candidats tombent chaque année.
Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations qui peuvent être vraies ou fausses. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée par des points négatifs, tandis qu'une absence de réponse rapporte simplement zéro. Si vous n'arrivez pas à simplifier l'expression de la somme ou du produit, ou si vous avez un doute persistant sur le calcul de la limite, il est stratégiquement préférable de ne pas cocher la case plutôt que de risquer de perdre des points précieux. La gestion du risque est tout aussi importante que vos compétences mathématiques pour réussir ce concours.