Ce que demande cette question
La question 22 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2009 vous confronte à un grand classique : l'étude d'une suite numérique dont le terme général est défini par une intégrale. Ici, la suite est construite à partir de l'intégration de la fonction exponentielle décroissante sur un intervalle de longueur unitaire. L'énoncé vous demande d'analyser cette suite sous plusieurs angles pour statuer sur quatre affirmations.
Dans un premier temps, vous devez être capable de calculer la valeur exacte du premier terme de la suite, ce qui implique de savoir évaluer une intégrale définie sur un intervalle simple. Ensuite, la question vous invite à déterminer la nature exacte de cette suite. Il s'agit de vérifier si elle correspond bien à une suite géométrique et, le cas échéant, d'en identifier la raison précise pour valider ou invalider la proposition de l'énoncé.
Les deux dernières affirmations portent sur le comportement asymptotique. Vous êtes amené à étudier la limite du terme général lorsque l'indice tend vers l'infini, en vous appuyant sur vos connaissances de la fonction exponentielle. Enfin, vous devez exprimer la somme des premiers termes de la suite, ce qui requiert soit une bonne maîtrise des formules de sommation, soit une utilisation astucieuse des propriétés de l'intégrale.
Les notions à maîtriser
- Le calcul de primitives : connaître parfaitement la primitive de la fonction exponentielle composée, en particulier pour la forme de base avec un signe négatif.
- Les propriétés des intégrales : savoir évaluer une intégrale définie entre deux bornes et maîtriser la relation de Chasles qui peut s'avérer très utile pour le calcul de sommes.
- Les suites géométriques : être capable de démontrer qu'une suite est géométrique en calculant le quotient de deux termes consécutifs, et identifier sa raison.
- La sommation de termes : connaître sur le bout des doigts la formule donnant la somme des premiers termes d'une suite géométrique.
- Le calcul de limites : savoir déterminer la limite d'une suite géométrique ou d'une expression contenant une exponentielle lorsque la variable tend vers l'infini.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Pour aborder sereinement cette question, la méthode la plus efficace consiste à calculer explicitement l'intégrale définissant le terme général dès la lecture de l'énoncé. En obtenant une expression algébrique simple du terme général sans le symbole intégral, vous simplifierez considérablement l'analyse des quatre affirmations. C'est une démarche systématique qui vous fera gagner un temps précieux lors de l'épreuve.
Prenez garde aux pièges classiques de ce type de sujet. L'affirmation concernant la raison de la suite géométrique est un test de vigilance : une erreur de signe ou une confusion dans les puissances de l'exponentielle est vite arrivée. De même, lors du calcul de la somme des termes, vous pouvez utiliser la formule des suites géométriques, mais l'application de la relation de Chasles sur les bornes des intégrales offre une méthode alternative souvent plus rapide et moins sujette aux erreurs de calcul.
Enfin, gardez toujours à l'esprit la spécificité du barème du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes à évaluer. Une mauvaise réponse entraîne des points de pénalité, ce qui signifie qu'une erreur vous coûtera plus cher qu'une absence de réponse. Si vous avez un doute persistant sur le calcul de la somme ou sur la limite, il est stratégiquement préférable de vous abstenir sur cette affirmation précise plutôt que de risquer de perdre les points acquis grâce à vos calculs justes sur les premiers items. La gestion du risque est une compétence fondamentale pour réussir ce concours.