Introduction au Calcul Littéral et aux Programmes de Calculs

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges 2014 (Zone Pondichéry), est un classique absolu de l'épreuve de mathématiques de 3ème. Il porte sur deux notions fondamentales : le calcul littéral et la modélisation sous forme de programme de calculs. L'objectif est de démontrer une propriété mathématique universelle à partir d'un algorithme simple. Dans cet énoncé, on nous demande de vérifier si l'affirmation suivante est vraie : \(\og\) Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J'ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j'enlève 21. J'obtiens toujours un multiple de 10. \(\fg\).

Analyse Méthodique de l'Énoncé

Pour résoudre ce type de problème, il existe deux approches : l'expérimentation et la généralisation. L'expérimentation consiste à tester des nombres au hasard (par exemple 2, 5, 10) pour voir si le résultat est bien un multiple de 10. Cependant, tester quelques exemples ne suffit jamais à prouver une règle générale. C'est ici que le calcul littéral devient indispensable. Pour justifier de manière rigoureuse, nous devons utiliser une variable, généralement notée \(x\), pour représenter n'importe quel nombre entier de départ.

Étape 1 : Modélisation littérale

Suivons le programme de calcul étape par étape en utilisant la variable \(x\) :
1. Choisir un nombre entier : \(x\)
2. Ajouter 3 : \(x + 3\)
3. Multiplier le résultat par 7 : Attention, ici il faut multiplier tout le bloc précédent, ce qui nous donne \(7 \times (x + 3)\)
4. Ajouter le triple du nombre de départ : Le triple de \(x\) est \(3x\). On obtient donc \(7(x + 3) + 3x\)
5. Enlever 21 : L'expression finale est \(A = 7(x + 3) + 3x - 21\)

Étape 2 : Développement et Simplification

Pour savoir si ce résultat est un multiple de 10, nous devons simplifier l'expression \(A\). Pour cela, nous utilisons la simple distributivité :
\(A = 7 \times x + 7 \times 3 + 3x - 21\)
\(A = 7x + 21 + 3x - 21\)
En regroupant les termes en \(x\) et les termes constants :
\(A = (7x + 3x) + (21 - 21)\)
\(A = 10x\)

Étape 3 : Interprétation mathématique

Le résultat obtenu est \(10x\). Par définition, si \(x\) est un nombre entier, alors \(10x\) est un produit de 10 par un entier. C'est donc, par définition même, un multiple de 10. L'affirmation est donc Vraie pour n'importe quel nombre entier choisi au départ.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal dans cet exercice réside dans la troisième étape : \(\og\)multiplier le résultat par 7\(\fg\). De nombreux élèves oublient les parenthèses et écrivent \(x + 3 \times 7\), ce qui transformerait l'expression en \(x + 21\) à cause des priorités opératoires. N'oubliez jamais : quand vous appliquez une opération à un résultat précédent, ce résultat doit être considéré comme un bloc (entre parenthèses). Un autre piège est de se contenter de tester deux ou trois nombres (comme 1 ou 2) et de conclure que c'est vrai. Au Brevet, la justification par le calcul littéral est la seule qui permet d'obtenir la totalité des points sur une question de généralisation.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, suivez cette structure :
1. Commencez par annoncer clairement votre méthode : \(\og\)Soit \(x\) le nombre choisi au départ.\(\fg\)
2. Détaillez chaque étape du programme de calcul comme nous l'avons fait ci-dessus. Cela montre au correcteur que vous avez compris l'algorithme.
3. Effectuez le développement avec soin, en montrant l'étape de la distributivité.
4. Concluez par une phrase explicite : \(\og\)Le résultat est de la forme \(10x\), c'est donc un multiple de 10 quel que soit l'entier \(x\) choisi. L'affirmation est vraie.\(\fg\)
Même si vous n'arrivez pas au bout du calcul, laissez vos traces de recherche (essais avec des nombres, début d'expression littérale). Comme l'indique l'énoncé, la recherche est valorisée dans l'évaluation.