Introduction aux notions de Géométrie et Trigonométrie du Brevet

Cet exercice, issu de la session 2013 des centres étrangers, constitue un excellent entraînement pour les élèves de troisième. Il mobilise deux piliers du programme de mathématiques : la géométrie plane (propriétés du cercle et du triangle) et la trigonométrie. L'objectif est de savoir jongler entre les propriétés de configuration (triangle inscrit dans un cercle) et les outils de calcul de longueurs. Dans cet énoncé, nous travaillons avec un triangle $ABC$ isocèle en $A$ et son cercle circonscrit, une configuration classique qui cache souvent des propriétés de symétrie indispensables pour résoudre les questions d'angles.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de l'angle $\widehat{BAM}$ : La force de la symétrie

La première question demande de déterminer la mesure de l'angle $\widehat{BAM}$. Bien qu'aucune justification ne soit demandée, il est crucial de comprendre le raisonnement. Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Dans un triangle isocèle, le centre du cercle circonscrit $O$ se situe sur la médiatrice de la base $[BC]$. Cette médiatrice est également la bissectrice de l'angle au sommet $\widehat{BAC}$. Puisque la droite $(OA)$ passe par le centre $O$ et le sommet $A$, elle est l'axe de symétrie du triangle. Par conséquent, la droite $(AM)$ partage l'angle $\widehat{BAC}$ en deux angles égaux. On a donc $\widehat{BAM} = \widehat{BAC} / 2 = 50^\circ / 2 = 25^\circ$.

2. Nature du triangle $BAM$ : Le triangle inscrit

Pour la question 2, il faut justifier la nature du triangle $BAM$. On observe que les points $A$, $B$ et $M$ appartiennent au cercle $(\mathcal{C})$. L'énoncé précise que le segment $[AM]$ est une corde passant par le centre $O$ du cercle, ce qui fait de $[AM]$ un diamètre du cercle circonscrit. Une propriété fondamentale du cours de géométrie de 4ème/3ème stipule que : 'Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce diamètre'. Ici, le triangle $BAM$ est donc rectangle en $B$.

3. Calcul de la longueur $AM$ : L'outil Trigonométrique

Maintenant que nous savons que le triangle $BAM$ est rectangle en $B$, nous pouvons utiliser les rapports trigonométriques. Nous connaissons l'angle $\widehat{BAM} = 25^\circ$ et la longueur du côté adjacent à cet angle, $AB = 5$ cm. Nous cherchons l'hypoténuse $AM$. Le rapport liant le côté adjacent et l'hypoténuse est le Cosinus. La formule est : $\cos(\widehat{BAM}) = \frac{AB}{AM}$. En remplaçant par les valeurs : $\cos(25^\circ) = \frac{5}{AM}$. En isolant $AM$, on obtient $AM = \frac{5}{\cos(25^\circ)}$. À l'aide de la calculatrice (en mode degrés), on trouve $AM \approx 5,519$. L'arrondi au dixième demandé est donc de $5,5$ cm.

4. Angle $\widehat{BKC}$ : Les angles inscrits

Enfin, la question porte sur l'angle $\widehat{BKC}$. Les points $A, B, C, K$ sont tous situés sur le même cercle. Les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BKC}$ sont appelés des angles inscrits. On remarque qu'ils interceptent tous les deux le même arc de cercle : l'arc $BC$. La propriété des angles inscrits nous dit que : 'Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure'. Ainsi, $\widehat{BKC} = \widehat{BAC} = 50^\circ$.

Les Pièges à éviter

Attention à plusieurs points lors de vos révisions. Premièrement, ne confondez pas côté opposé et côté adjacent lors de l'utilisation de la trigonométrie. Si vous aviez utilisé le sinus ici, votre résultat aurait été totalement erroné. Deuxièmement, vérifiez toujours le mode de votre calculatrice : elle doit être en 'DEG' (degrés) et non en 'RAD' (radians) ou 'GRAD'. Enfin, ne négligez pas les propriétés de géométrie du collège (comme celle du triangle rectangle inscrit), car elles sont souvent les clés permettant de débloquer l'utilisation de la trigonométrie.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, soyez rigoureux. Pour la question 2, citez explicitement la propriété du triangle inscrit. Pour la trigonométrie, commencez toujours par préciser que le triangle est rectangle, nommez l'angle utilisé et écrivez la formule littérale avant d'injecter les chiffres. N'oubliez pas l'unité (cm) dans votre réponse finale et respectez l'arrondi demandé (ici le dixième, soit un chiffre après la virgule). Une rédaction claire avec des connecteurs logiques (donc, or, on sait que) rassure le correcteur sur votre maîtrise du raisonnement mathématique.