Introduction aux fondamentaux de la géométrie au Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet 2018 (Amérique du Nord) est un pilier de l'épreuve de géométrie plane. Il mobilise trois compétences essentielles évaluées en fin de cycle 4 : la construction de figures géométriques complexes, la démonstration de la nature d'un triangle via la réciproque du théorème de Pythagore, et le calcul de longueurs dans une configuration de Thalès. Cet exercice est représentatif des attentes de l'examen car il demande à l'élève non seulement d'appliquer des formules, mais surtout de structurer un raisonnement logique rigoureux. Dans cet article, nous allons décomposer chaque étape pour vous offrir une préparation optimale.

Analyse de la Question 1 : La construction de la figure

La première question demande de réaliser une figure en vraie grandeur. Bien que cela puisse paraître simple, c'est une étape cruciale pour visualiser les rapports de proportionnalité. Pour le triangle $ADE$, on utilise la règle et le compas. Tracez d'abord le plus long côté $[AD]$ de $7$ cm. Utilisez ensuite le compas pour pointer $A$ avec un écartement de $4,2$ cm et $D$ avec un écartement de $5,6$ cm. L'intersection donne le point $E$. Pour placer $B$ et $C$, attention à la notation : $B \in [AD)$ signifie que $B$ est sur la demi-droite d'origine $A$ passant par $D$. Comme $AB = 9$ cm et $AD = 7$ cm, le point $D$ se situe entre $A$ et $B$. De même pour $C$ sur $[AE)$. La précision millimétrique est ici le premier gage de réussite.

Analyse de la Question 2 : La réciproque du théorème de Pythagore

La question demande de prouver que le triangle $ADE$ est rectangle en $E$. Pour cela, nous devons comparer le carré du côté le plus long avec la somme des carrés des deux autres côtés. C'est l'application directe de la réciproque du théorème de Pythagore. Dans le triangle $ADE$, le côté le plus long est $[AD]$.

Calculons d'une part : $AD^2 = 7^2 = 49$.

Calculons d'autre part : $AE^2 + DE^2 = 4,2^2 + 5,6^2$. En effectuant les calculs, on obtient $17,64 + 31,36 = 49$.

On constate que $AD^2 = AE^2 + DE^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ADE$ est bien rectangle en $E$. Conseil pédagogique : Ne rédigez jamais sous la forme d'une égalité directe dès le début (ex: $7^2 = 4,2^2 + 5,6^2$). Séparez toujours les deux calculs pour montrer que vous vérifiez l'égalité.

Analyse de la Question 3 : L'application du théorème de Thalès

Pour calculer la longueur $FG$, il faut identifier la configuration géométrique. Les points $A, F, D$ sont alignés ainsi que les points $A, G, E$. L'énoncé précise que les droites $(FG)$ et $(DE)$ sont parallèles. Nous sommes donc dans la configuration classique du théorème de Thalès (triangles emboîtés $AFG$ et $ADE$).

D'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports suivants : $\frac{AF}{AD} = \frac{AG}{AE} = \frac{FG}{DE}$.

En utilisant les valeurs connues : $\frac{2,5}{7} = \frac{FG}{5,6}$. Pour trouver $FG$, on effectue un produit en croix : $FG = \frac{2,5 \times 5,6}{7}$. Le calcul donne $FG = \frac{14}{7} = 2$ cm.

Cette étape nécessite une grande vigilance sur l'ordre des points dans les rapports. Le petit côté du triangle $AFG$ doit être au numérateur si le grand côté du triangle $ADE$ est au dénominateur.

Les pièges classiques à éviter

Le premier piège est l'unité de mesure. Bien que tout soit en centimètres ici, vérifiez toujours la cohérence. Le deuxième piège réside dans la confusion entre le théorème de Pythagore (calcul d'une longueur) et sa réciproque (preuve d'un angle droit). Si l'on vous demande de 'Prouver que...', c'est la réciproque qu'il faut utiliser. Enfin, dans Thalès, l'erreur la plus fréquente est d'inverser un rapport, par exemple écrire $AD/AF = FG/DE$, ce qui fausserait totalement le résultat final. Prenez le temps de bien nommer vos triangles avant de poser les fractions.

Conseils de rédaction pour gagner tous les points

Le correcteur du Brevet attend une structure en trois temps pour chaque démonstration. 1. 'On sait que' : Listez les données utiles (alignement, parallélisme, longueurs). 2. 'Or d'après' : Citez précisément le nom du théorème ou de la propriété utilisée. 3. 'Donc' : Présentez le calcul et concluez avec l'unité. Un élève qui écrit 'D'après Thalès, FG = 2' n'aura qu'une partie des points. Un élève qui détaille les rapports et le parallélisme obtiendra la note maximale. La rigueur mathématique est aussi importante que le résultat numérique.