Introduction aux notions du Brevet : Fonctions et Outils Numériques

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2015 (Zone Nouvelle-Calédonie) est un cas d'école parfait pour réviser trois piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème : l'utilisation du tableur, la modélisation par des fonctions et l'interprétation graphique. L'énoncé nous place dans une situation concrète : le choix d'un abonnement pour un club de sport, confrontant un tarif forfaitaire (fonction constante) et un tarif proportionnel au temps avec frais fixes (fonction affine). Comprendre comment passer d'un énoncé textuel à une cellule de tableur, puis à une courbe, est la clé pour obtenir le maximum de points à l'épreuve.

Analyse Question 1 : Maîtriser le langage du tableur

La première question demande d'identifier la formule correcte saisie en cellule C4 pour calculer le tarif B. Dans le cadre du Brevet, le tableur n'est pas qu'un outil informatique, c'est une extension de l'algèbre. Ici, le tarif B se décompose comme suit : un coût fixe de $5\,000$ F et un coût variable de $7\,900$ F par mois. Si l'on désigne par $x$ le nombre de mois, le coût est donné par $7900x + 5000$.

Dans un tableur, la variable $x$ est contenue dans une cellule. En regardant le tableau, le nombre de mois pour la ligne 4 est situé dans la cellule A4. La syntaxe d'une formule commence toujours par le signe égal ($=$). Parmi les propositions :
- 20800 + 7900 est une simple addition sans lien dynamique.
- =5000+A4*7900 est la réponse correcte : elle lie le coût fixe, la référence à la cellule variable et le multiplicateur mensuel.
- =somme (C2:C3) et (C2+C3)/2 ne respectent pas la logique de calcul de l'abonnement.

Analyse Question 2 : Comparaison de tarifs et résolution d'inéquations

La question 2 porte sur le seuil de rentabilité : à partir de quel moment le tarif A (forfaitaire) devient-il plus avantageux que le tarif B ? Pour répondre, l'élève a deux stratégies : l'observation du tableau de données ou la résolution algébrique.

Méthode par le tableau : En observant la colonne B (Tarif A) et la colonne C (Tarif B), on cherche quand la valeur en C dépasse $90\,000$.
- À 10 mois (ligne 11), le tarif B est de $84\,000$ F (moins cher que A).
- À 11 mois (ligne 12), le tarif B est de $91\,900$ F (plus cher que A).
Le tarif A devient donc plus intéressant dès le 11ème mois d'abonnement.

Méthode algébrique (pour aller plus loin) : On cherche $x$ tel que $7900x + 5000 > 90000$. Cela donne $7900x > 85000$, soit $x > 85000 / 7900 \approx 10,76$. Le premier entier supérieur est 11.

Analyse Question 3 : Lecture graphique et identification de fonctions

Le graphique présente deux droites. Il est crucial de savoir les identifier selon leurs caractéristiques mathématiques :
- La droite $h$ est horizontale. Elle représente une fonction constante du type $f(x) = k$. Ici, elle correspond au Tarif A ($90\,000$ F quel que soit le nombre de mois).
- La droite $g$ est une droite qui ne passe pas par l'origine, elle représente une fonction affine du type $g(x) = ax + b$. Le tarif B commence à $5\,000$ F (ordonnée à l'origine) et augmente de $7\,900$ par mois (coefficient directeur).
Par conséquent, le tarif B est représenté par la droite $g$.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

1. La confusion des cellules : Ne confondez pas la valeur (le chiffre 3) et la référence de la cellule (A4). Le correcteur attend que vous montriez que vous comprenez la dynamique du tableur.
2. L'unité : N'oubliez pas de mentionner l'unité monétaire (Francs Pacifique, notés F) dans vos réponses textuelles.
3. Justification graphique : Pour la question 3, justifiez brièvement : "Le tarif B varie en fonction du nombre de mois, il est donc représenté par la droite inclinée $g$, tandis que le tarif A est fixe et correspond à la droite horizontale $h$".
4. Précision de la lecture : Sur le graphique, vérifiez toujours l'échelle des axes. Ici, l'axe des ordonnées monte par paliers de $10\,000$ ou $15\,000$, ce qui peut prêter à confusion si on ne regarde pas attentivement les graduations.

Conclusion pour l'examen

Ce type d'exercice est un classique car il balaie plusieurs compétences du socle commun. Savoir passer d'un tableau à un graphique est essentiel. Si vous maîtrisez la lecture d'une image (ici le prix) pour un antécédent donné (ici le nombre de mois), vous assurez une grande partie des points sur les fonctions au Brevet.