Introduction aux Probabilités et à l'Algorithmique au Brevet

L'exercice 5 du sujet Brevet 2023 (Zone Amsud) est un exemple parfait de l'interdisciplinarité attendue au collège entre les mathématiques pures et la pensée informatique. Il combine deux thématiques majeures du programme de 3ème : les probabilités (expériences à deux épreuves) et l'algorithmique via le logiciel Scratch. Cet exercice demande aux élèves de passer d'un modèle mathématique concret (une roue et une urne) à une représentation abstraite (une liste d'issues), puis à une simulation numérique. Comprendre ces liens est essentiel pour valider les compétences du socle commun.

Analyse Méthodique : Du Tirage à l'Évènement

L'expérience consiste à former un nombre à deux chiffres en combinant le résultat d'une roue (dizaines) et celui d'une urne (unités). C'est une expérience aléatoire à deux épreuves indépendantes.

1. Lister les issues : La méthode du tableau

Pour ne rien oublier à la question 1, la méthode la plus rigoureuse consiste à construire un tableau à double entrée. En plaçant les chiffres de la roue (1, 2, 3, 4) en ligne et ceux de l'urne (2, 3, 4) en colonne, on obtient les 12 combinaisons possibles : 12, 13, 14, 22, 23, 24, 32, 33, 34, 42, 43, 44. C'est le produit cartésien $4 \times 3 = 12$. Lister ces issues est la base pour calculer toutes les probabilités suivantes.

2. Probabilité d'obtenir un nombre impair

Parmi les 12 issues, un nombre est impair si son chiffre des unités est impair. Dans notre urne, seul le chiffre 3 est impair. Les issues favorables sont donc : 13, 23, 33, 43. Il y a 4 issues favorables sur 12 totales. La probabilité est donc de $4/12$, soit $1/3$ après simplification. En rédaction, précisez bien la formule : $P = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues totales}}$.

3. Nombres premiers et évènements contraires

L'évènement A concerne les nombres premiers inférieurs à 30. Parmi notre liste, nous identifions : 13 et 23. (Attention : 12, 14, 22, 24 ne sont pas premiers). La probabilité $P(A)$ est donc $2/12 = 1/6$. La question b porte sur l'évènement contraire (noté $\bar{A}$). La règle est simple : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Soit $1 - 1/6 = 5/6$. Cette notion d'évènement contraire est un classique du Brevet à ne pas négliger.

4. Le cas des multiples de 11

Un nombre à deux chiffres est un multiple de 11 si ses deux chiffres sont identiques (11, 22, 33, 44, etc.). Dans notre expérience, les multiples possibles sont : 22, 33 et 44. Notez que 11 est impossible car l'urne ne contient pas le chiffre 1. Il y a donc 3 issues favorables (22, 33, 44). La probabilité est $3/12$, ce qui donne bien $0,25$ (soit 1/4). C'est une étape de vérification cruciale avant d'attaquer la partie programmation.

Analyse du Script Scratch : Simulation Aléatoire

La seconde partie de l'exercice demande de compléter un script de simulation. C'est ici que l'élève doit faire preuve de logique algorithmique.

5. Compléter le script (Questions 5a et 5b)

À la ligne 5, on cherche à définir le chiffre des unités. L'énoncé précise que l'urne contient les boules 2, 3 et 4. Il faut donc compléter par : "nombre aléatoire entre 2 et 4".
À la ligne 6, le joueur gagne s'il obtient un multiple de 11. Comme vu précédemment, cela signifie que le chiffre des dizaines est égal au chiffre des unités. La condition Scratch est donc : "si Chiffre des dizaines = Chiffre des unités".

6. Probabilité vs Fréquence (Question 5c)

Pourquoi le programme affiche-t-il 0,23 au lieu de 0,25 ? C'est le cœur des statistiques. Le programme réalise 100 répétitions. La fréquence observée sur un petit échantillon (100 est considéré comme petit en statistiques) fluctue autour de la probabilité théorique. C'est ce qu'on appelle la fluctuation d'échantillonnage. Plus on augmenterait le nombre de répétitions (par exemple 10 000), plus la fréquence se rapprocherait de 0,25. C'est la loi des grands nombres.

Les Pièges à Éviter

• L'oubli d'une issue : Ne vous précipitez pas pour lister les 12 issues, utilisez un arbre ou un tableau.
• La confusion dizaines/unités : L'ordre compte ! 12 n'est pas 21.
• Scratch : Ne pas oublier que dans Scratch, les variables doivent être exactement celles définies par les blocs "mettre à".
• Justification : Pour la question 5c, utilisez les termes "fluctuation d'échantillonnage" pour montrer votre maîtrise du vocabulaire.

Conseils de Rédaction pour l'Épreuve

Pour obtenir le maximum de points :
1. Présentez toujours vos probabilités sous forme de fractions simplifiées, puis donnez l'écriture décimale si elle est exacte.
2. Pour Scratch, recopiez les blocs ou les phrases demandées de manière lisible.
3. Expliquez vos raisonnements en une phrase simple : "Il y a 3 multiples de 11 parmi les 12 issues possibles, donc la probabilité est...".