Introduction aux fondamentaux du Brevet de Mathématiques

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2015 (Série Générale - Polynésie) est un classique indispensable pour tout élève de 3ème. Ce type d'exercice, souvent présenté sous forme de questions à choix multiples (QCM) ou, comme ici, d'affirmations de type « Vrai ou Faux », permet d'évaluer la polyvalence de l'élève sur plusieurs domaines clés du programme. Nous allons explorer quatre piliers majeurs : la trigonométrie dans le triangle rectangle, la résolution d'équations du second degré par substitution, la gestion des pourcentages (soldes) et enfin le calcul de probabilités élémentaires. Chaque affirmation nécessite une justification rigoureuse, car au Brevet, une réponse sans démonstration ne rapporte aucun point.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Affirmation 1 : La Trigonométrie et les Triangles Rectangles

Dans cette première partie, on nous présente un triangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm. Le premier réflexe de l'élève doit être de vérifier si ce triangle est rectangle. En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, nous constatons que 3² + 4² = 9 + 16 = 25, et 5² = 25. Le triangle est donc rectangle en A. Pour calculer l'angle $\widehat{\text{ABC}}$, nous devons utiliser les rapports trigonométriques (SOH CAH TOA). Ici, nous connaissons le côté adjacent (AB = 4 cm) et l'hypoténuse (BC = 5 cm). La formule appropriée est le cosinus : $\cos(\widehat{\text{ABC}}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{4}{5} = 0,8$. En utilisant la calculatrice avec la fonction $\arccos(0,8)$, on obtient environ 36,8698... degrés. Arrondi au dixième de degré près, cela donne bien 36,9°. L'affirmation est donc **VRAIE**.

Affirmation 2 : Équations et Vérification de Solution

L'affirmation 2 teste votre capacité à vérifier si un nombre est solution d'une équation. L'équation donnée est $x^2 + 2x - 15 = 0$. Pour savoir si 3 est solution, il suffit de remplacer la variable $x$ par la valeur 3 dans le membre de gauche et de vérifier si le résultat est égal à zéro. Calculons : $3^2 + 2 \times 3 - 15 = 9 + 6 - 15 = 15 - 15 = 0$. Le résultat étant nul, la valeur 3 satisfait l'égalité. L'affirmation est donc **VRAIE**. C'est une méthode simple qui évite de devoir factoriser ou d'utiliser des outils plus complexes comme le discriminant.

Affirmation 3 : Pourcentages et Prix Soldés

Cette question porte sur les évolutions réciproques. On nous donne un nouveau prix de 49 € après une remise de 30 %. Une erreur classique consiste à calculer 30 % de 49 € et à l'ajouter, ce qui est mathématiquement faux. Pour retrouver le prix initial, on utilise le coefficient multiplicateur. Une baisse de 30 % correspond à un coefficient de $1 - 0,30 = 0,70$. La relation est : $\text{Prix initial} \times 0,70 = 49$. Pour trouver le prix initial, on effectue l'opération inverse : $49 / 0,70 = 70$. Le prix avant la remise était donc de 70 € et non de 63,70 €. L'affirmation est donc **FAUSSE**. Notez que 63,70 € correspondrait à une remise calculée sur 49 €, ce qui illustre le piège tendu par le concepteur du sujet.

Affirmation 4 : Probabilités et Comparaison de Fréquences

Dans cette dernière partie, on compare les chances de tirer une boule rouge dans deux urnes différentes. Dans l'urne 1, il y a 35 boules rouges sur un total de 100 boules (35 + 65). La probabilité $P_1$ est donc de $35/100 = 0,35$. Dans l'urne 2, il y a 19 boules rouges sur un total de 50 boules (19 + 31). La probabilité $P_2$ est de $19/50$. Pour comparer ces deux fractions, il est plus simple de les mettre sur le même dénominateur ou de passer en écriture décimale : $19/50 = 38/100 = 0,38$. Puisque $0,38 > 0,35$, on a effectivement plus de chances de gagner avec l'urne 2. L'affirmation est donc **VRAIE**.

Les Pièges à Éviter

Attention à la lecture des énoncés ! Pour la trigonométrie, vérifiez toujours que le triangle est rectangle avant d'utiliser Cosinus, Sinus ou Tangente. Pour les pourcentages, ne confondez jamais la valeur initiale et la valeur finale. Une remise de 30 % suivie d'une hausse de 30 % ne ramène pas au prix de départ ! Enfin, pour les probabilités, calculez toujours le nombre total de boules (l'univers) en additionnant les boules de toutes les couleurs avant de poser votre fraction.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points lors de l'épreuve de mathématiques, structurez vos réponses. Pour le Vrai/Faux, commencez par annoncer si l'affirmation est vraie ou fausse, puis détaillez le calcul ou la propriété utilisée. Utilisez des connecteurs logiques comme « or », « donc », « par conséquent ». Citez les théorèmes (Théorème de Pythagore, trigonométrie) par leur nom. Une présentation claire et une conclusion soulignée plaisent toujours aux correcteurs et garantissent que votre raisonnement est compris.