Introduction aux Probabilités et au Tableur au Brevet
L'exercice 2 du sujet de Mathématiques du Brevet de la Zone Métropole 2013 est une application concrète du lien entre les outils numériques et les probabilités théoriques. Cet exercice sollicite deux compétences majeures du socle commun : l'utilisation d'une feuille de calcul (tableur) pour traiter des données statistiques et la compréhension de la notion de probabilité à travers l'expérimentation. Dans cet exercice, nous suivons Tom qui réalise cinquante lancers de deux dés à six faces et cherche à automatiser ses calculs dans un tableur. Ce type d'exercice est devenu un standard de l'épreuve de mathématiques car il évalue la capacité de l'élève à modéliser une situation réelle et à utiliser des outils numériques de manière critique.
Analyse Méthodique de la Question 1 : Somme des Effectifs
La première question porte sur la manipulation fondamentale des données dans un tableur. Tom a noté le nombre d'apparitions de chaque somme possible (de 2 à 12). On lui demande quelle formule a été saisie dans la cellule M2 pour vérifier le total de 50 lancers. En mathématiques, cela correspond au calcul de l'effectif total.
Au niveau pédagogique, il est essentiel de comprendre que le tableur permet d'automatiser l'addition de plusieurs cellules. Bien que l'on puisse écrire une formule telle que =B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2+I2+J2+K2+L2, cette méthode est longue et source d'erreurs. La réponse attendue par les correcteurs repose sur l'utilisation de la fonction intégrée. La formule correcte est =SOMME(B2:L2). Ici, les deux points symbolisent une plage de données continue. Utiliser cette fonction démontre une maîtrise de l'outil informatique, indispensable pour gagner du temps lors des épreuves.
Analyse Méthodique de la Question 2 : Références Relatives et Absolues
La deuxième question est souvent celle qui pose le plus de difficultés aux élèves de 3ème. Elle concerne le mécanisme de "recopie vers la droite" (ou incrémentation) dans un tableur. Tom a saisi =B2/M2 dans la cellule B3 pour calculer la fréquence d'apparition de la somme 2. Lorsqu'il tire cette formule vers la droite (en C3, D3, etc.), le logiciel affiche une erreur. Pourquoi ?
L'explication réside dans le concept de référence relative. Par défaut, lorsqu'on décale une formule d'une colonne vers la droite, toutes les lettres de colonnes dans la formule se décalent également d'une unité. Ainsi, en tirant la formule de B3 vers C3 :
- Le numérateur B2 devient C2 (ce qui est correct, on veut l'effectif de la somme 3).
- Le dénominateur M2 devient N2.
Or, si nous regardons le tableau, la cellule N2 est vide. En informatique, diviser par une cellule vide revient à tenter une division par zéro, ce qui génère un message d'erreur de type
#DIV/0!. Pour éviter cela, Tom aurait dû utiliser le symbole
$ pour fixer la colonne du total, créant ainsi une référence absolue :
=B2/$M$2.
Analyse Méthodique de la Question 3 : Fréquence vs Probabilité
La dernière question confronte l'expérience à la théorie. Tom observe que sur ses 50 lancers, la somme 12 est apparue 0 fois. Il en conclut qu'il n'a aucune chance d'obtenir 12. C'est un sophisme classique que les élèves doivent apprendre à débusquer. Tom a tort.
Ici, il faut distinguer la fréquence observée (0 sur 50, soit 0%) et la probabilité théorique. Dans une expérience aléatoire avec deux dés à six faces, l'univers comporte 36 issues possibles (6 x 6). La somme 12 s'obtient par une seule combinaison : le double 6. La probabilité théorique est donc de $1/36$, soit environ $0,028$ (2,8%). Le fait que l'événement ne soit pas survenu au cours de 50 répétitions n'implique pas son impossibilité. C'est ce qu'on appelle la fluctuation d'échantillonnage. Plus le nombre de lancers sera grand, plus la fréquence observée se rapprochera de la probabilité théorique de $1/36$.
Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve
Le premier piège est l'oubli du signe égal (=) au début des formules de tableur. Sans ce signe, le logiciel considère la saisie comme du texte et n'effectue aucun calcul. Les correcteurs du Brevet sont intransigeants sur ce point.
Le second piège est de confondre les lignes et les colonnes dans l'analyse de l'erreur du tableur. Prenez toujours le temps de simuler mentalement le décalage : "Si je vais à droite, les lettres changent. Si je vais en bas, les chiffres changent."
Enfin, en probabilités, ne confondez jamais "impossible" et "non réalisé". Un événement impossible a une probabilité de 0 (comme obtenir une somme de 13 avec deux dés). Un événement qui ne s'est pas produit lors d'une expérience peut tout à fait se produire au prochain essai.
Conseils de Rédaction pour Maximiser vos Points
Pour la question sur le tableur, nommez explicitement les cellules. Ne dites pas simplement "ça se décale", dites "la cellule M2 se transforme en N2 qui est vide". Cela prouve une analyse technique précise.
Pour la question de probabilités, utilisez le vocabulaire spécifique : "issue", "combinaison", "univers", "probabilité théorique". Si vous pouvez, prouvez par le calcul que la probabilité n'est pas nulle : "Il existe une combinaison pour obtenir 12 (6;6), donc la probabilité est de $1/36 \neq 0$." Cette rigueur mathématique est la clé pour obtenir la totalité des points et impressionner le correcteur.