Analyse de l'énoncé : Modélisation et calcul d'aires
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, pose les bases fondamentales de la modélisation géométrique que l'on retrouve en Première Spécialité Mathématiques. La problématique centrale repose sur l'optimisation (choix de la plus grande surface) et la gestion des dimensions périphériques, un classique des problèmes menant aux fonctions du second degré.
Points de vigilance et notions requises
Pour résoudre cet exercice avec rigueur, plusieurs compétences sont mobilisées :
- Calcul d'aires de rectangles : Application de la formule $A = L \times l$.
- Géométrie spatiale plane : Comprendre que l'ajout d'une bordure de 2 mètres tout autour d'un rectangle modifie sa longueur et sa largeur de $2 \times 2 = 4$ mètres au total.
- Gestion des pourcentages : Appliquer une réduction de 15 % (soit multiplier par le coefficient multiplicateur $0,85$).
Correction détaillée et guide de résolution
Étape 1 : Choix du modèle de piscine. On calcule l'aire de chaque bassin :
- Modèle A : $500 \text{ cm} \times 300 \text{ cm} = 5 \text{ m} \times 3 \text{ m} = 15 \text{ m}^2$
- Modèle B : $8,5 \text{ m} \times 3,5 \text{ m} = 29,75 \text{ m}^2$
- Modèle C : $8 \text{ m} \times 4 \text{ m} = 32 \text{ m}^2$
Le modèle choisi est donc le
Modèle C.
Étape 2 : Calcul de la surface des dalles. La piscine C mesure $8 \text{ m}$ par $4 \text{ m}$. Les dalles entourent la piscine sur une largeur de $2 \text{ m}$. Les dimensions totales de la zone (piscine + dalles) sont donc :
Longueur totale : $8 + 2 + 2 = 12 \text{ m}$
Largeur totale : $4 + 2 + 2 = 8 \text{ m}$
L'aire totale est de $12 \times 8 = 96 \text{ m}^2$. Pour obtenir l'aire des dalles seule, on soustrait l'aire du bassin : $96 - 32 = 64 \text{ m}^2$.
Étape 3 : Calcul du coût final. Le prix initial est de $13,90 \text{ €/m}^2$.
Prix avant remise : $64 \times 13,90 = 889,60 \text{ €}$.
Application de la vente flash (-15 %) : $889,60 \times 0,85 = 756,16 \text{ €}$.
Ouverture vers la Spécialité Première
En Première, ce type d'exercice peut être complexifié en posant la largeur de la bordure comme une variable $x$. L'aire des dalles devient alors une fonction du second degré : $f(x) = (8+2x)(4+2x) - 32 = 4x^2 + 24x$. L'étude de cette fonction (variations, extremum) est au cœur du programme.