Introduction aux Programmes de Calculs au Brevet

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2019 (Zone Antilles-Guyane) constitue une étude de cas exemplaire sur les programmes de calculs, un thème central du cycle 4. Cet exercice mobilise trois compétences majeures du socle commun : le calcul numérique (manipulation de fractions et de carrés), le calcul littéral (modélisation par une variable $x$ et réduction d'expressions) et le raisonnement logique (validation d'affirmations). L'objectif pédagogique est de faire passer l'élève d'une exécution procédurale (appliquer des étapes) à une compréhension structurelle (analyser l'équivalence d'expressions algébriques).

Analyse Méthodique de l'Exercice

La première partie de l'exercice demande de tester les programmes A et B avec une valeur numérique fixe ($5$). Pour le Programme A, la difficulté réside dans la structure en dérivation : il faut multiplier par 4 d'un côté ($4 \times 5 = 20$), soustraire 2 de l'autre ($5 - 2 = 3$), élever ce second résultat au carré ($3^2 = 9$), puis sommer les deux branches ($20 + 9 = 29$). Cette décomposition est essentielle pour ne pas s'embrouiller dans l'ordre des opérations. Pour le Programme B, l'enchaînement est linéaire : $5^2 = 25$ puis $25 + 6 = 31$.

Passage au Calcul Littéral : La Modélisation par $x$

La question 2 est le pivot de l'exercice. En remplaçant le nombre de départ par $x$, le programme A devient une expression algébrique. On obtient $4x + (x - 2)^2$. C'est ici que l'élève doit faire preuve de maîtrise en identités remarquables. En développant $(x - 2)^2$ comme $x^2 - 4x + 4$, on constate que le terme en $4x$ s'annule avec le $-4x$. L'expression se simplifie donc en $x^2 + 4$. Cette simplification est capitale : elle prouve qu'un programme complexe en apparence peut se réduire à une fonction du second degré très simple. Pour le Programme B, l'expression est directe : $x^2 + 6$.

Analyse des Affirmations et Justifications

L'exercice se termine par une évaluation de propositions vraies ou fausses, une modalité fréquente au Brevet pour tester la rigueur scientifique.
1. **Affirmation a (Fractions)** : Le calcul avec $2/3$ demande de maîtriser les carrés de fractions : $(2/3)^2 = 4/9$. En ajoutant 6 (sous la forme $54/9$), on obtient bien $58/9$. C'est une vérification de calcul numérique pur.
2. **Affirmation b (Parité)** : On teste si $x^2 + 6$ est toujours impair pour un entier. Un simple contre-exemple suffit à infirmer la règle : si $x = 2$, $x^2 + 6 = 10$, qui est pair. L'affirmation est donc fausse.
3. **Affirmation c (Signe)** : Un carré $x^2$ est toujours positif ou nul. En lui ajoutant 6, le résultat est forcément supérieur ou égal à 6. L'affirmation est vraie.
4. **Affirmation d (Parité comparée)** : Le programme A donne $x^2 + 4$ et le B donne $x^2 + 6$. La différence entre les deux résultats est toujours de 2. Puisque l'ajout de 2 conserve la parité d'un nombre, les deux résultats auront systématiquement la même parité. L'affirmation est vraie.

Les Pièges à Éviter

Attention à la confusion classique dans l'identité remarquable $(a-b)^2$. Beaucoup d'élèves oublient le double produit ($2ab$) et écrivent $x^2 - 4$ au lieu de $x^2 - 4x + 4$. Une autre erreur fréquente concerne le traitement des fractions dans la question 4a : n'oubliez pas de mettre au même dénominateur avant d'additionner. Enfin, pour les affirmations portant sur des nombres entiers, rappelez-vous qu'un contre-exemple est l'outil le plus puissant pour prouver qu'une affirmation est fausse, alors qu'un exemple ne suffit jamais à prouver qu'une affirmation est toujours vraie.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Pour chaque question, commencez par citer l'expression littérale avant de substituer les nombres. Utilisez des connecteurs logiques : "On sait que...", "Or...", "Donc...". Dans les questions de type "Vrai/Faux", concluez explicitement par une phrase claire : "L'affirmation est donc vraie". Si vous utilisez un contre-exemple, précisez-le : "Si on choisit $x=2$, on obtient... ce qui contredit l'affirmation". Une rédaction propre et structurée rassure le correcteur sur votre maîtrise du sujet.