Introduction aux programmes de calcul et à l'algorithmique

L'exercice 4 de la session 2025 en Métropole est un classique incontournable du Diplôme National du Brevet. Il combine trois compétences fondamentales du programme de 3ème : le calcul numérique, le calcul littéral et l'algorithmique avec Scratch. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'un énoncé textuel ou d'un script informatique à une expression algébrique, et inversement. Dans cet exercice, nous confrontons deux approches : celle de Zoé (manuelle) et celle de Fred (numérique).

Analyse détaillée de la Partie A : Le programme de Zoé

La première partie repose sur l'exécution d'un programme de calcul simple. La structure est linéaire : choisir un nombre, soustraire, multiplier, ajouter.

Question 1 : Vérification numérique

Pour $10$ comme nombre de départ :
1. Soustraire 4 : $10 - 4 = 6$
2. Multiplier par 2 : $6 \times 2 = 12$
3. Ajouter 8 : $12 + 8 = 20$.
Le résultat est bien $20$. Cette question sert de mise en confiance et de validation de la compréhension des étapes.

Question 2 : Manipulation des nombres relatifs

Ici, la difficulté réside dans la gestion du signe moins :
1. $-7 - 4 = -11$ (attention : on recule de 4 sur l'axe des réels)
2. $-11 \times 2 = -22$
3. $-22 + 8 = -14$.
Il est crucial de bien maîtriser les règles de priorité et les opérations sur les relatifs.

Question 3 : Passage à la généralisation (Calcul Littéral)

Pour prouver que le programme est « magique », on utilise une variable $x$.
L'expression devient : $(x - 4) \times 2 + 8$.
En développant avec la distributivité simple : $2x - 8 + 8 = 2x$.
Puisque le résultat final est toujours $2x$, Zoé a raison : le résultat est systématiquement le double du nombre choisi.

Analyse détaillée de la Partie B : L'algorithme de Fred

Le passage sur Scratch demande une lecture attentive des blocs de variables. Chaque bloc « mettre résultat à » écrase la valeur précédente.

Question 4 : Traduction du script en expression littérale

Suivons le script pas à pas pour un nombre $x$ :
1. `résultat = réponse * 4` soit $4x$.
2. `résultat = résultat + 10` soit $4x + 10$.
3. `résultat = résultat * 5` soit $5 \times (4x + 10)$.
En développant $5 \times 4x + 5 \times 10$, on obtient bien $20x + 50$. Cette démonstration est la clé pour lier l'informatique aux mathématiques pures.

Question 5 : Résolution d'équation

Pour trouver le nombre de départ permettant d'obtenir $75$, il faut résoudre l'équation :
$20x + 50 = 75$
$20x = 75 - 50$
$20x = 25$
$x = 25 / 20 = 1,25$.
Conseil : Toujours vérifier le résultat en réinjectant 1,25 dans le programme initial.

Question 6 : Modification du script

Fred veut obtenir $20x$ au lieu de $20x + 50$. La différence entre les deux expressions est de $+50$. Pour annuler cet ajout constant, il suffit de soustraire 50 à la fin du programme. La sixième ligne du script Scratch doit donc être : `mettre résultat à résultat - 50`.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

1. Les parenthèses : Lors du passage du texte à l'expression littérale (Question 3 et 4), n'oubliez pas les parenthèses lors d'une multiplication globale. Sans elles, la priorité opératoire fausse tout le résultat.
2. La rigueur sur Scratch : Ne confondez pas le bloc « ajouter à » et « mettre à ». Le premier incrémente, le second remplace.
3. Présentation : Pour le Brevet, détaillez chaque étape de calcul. Ne donnez pas seulement le résultat final, montrez au correcteur votre cheminement logique.

Pourquoi cet exercice est-il stratégique ?

Cet exercice est représentatif des nouvelles épreuves du Brevet. Il ne demande pas seulement de savoir calculer, mais de savoir modéliser. La maîtrise du calcul littéral (distributivité, réduction) associée à la logique algorithmique représente environ 15 à 20 points sur 100 lors de l'examen final. S'entraîner sur ce type de sujet garantit une base solide pour la classe de Seconde.