Analyse de l'énoncé
Cet exercice propose une approche croisée entre les probabilités discrètes et la simulation algorithmique. L'expérience consiste en une succession de deux épreuves indépendantes : le choix d'un chiffre des dizaines (via une roue à 4 secteurs équiprobables) et le choix d'un chiffre des unités (via une urne contenant 3 boules). La structure de l'exercice est classique pour une classe de Première Spécialité, car elle demande de construire un univers (oméga), de dénombrer des issues et de comprendre la loi des grands nombres à travers une simulation.
Points de vigilance et notions clés
- L'univers : Il est crucial de ne pas oublier d'issues. Ici, l'univers est constitué de couples (dizaine, unité). Puisqu'il y a 4 choix pour le premier et 3 pour le second, il y a $4 \times 3 = 12$ issues possibles.
- Définition d'un multiple de 11 : Dans le contexte de nombres à deux chiffres, un nombre est multiple de 11 si et seulement si le chiffre des dizaines est égal au chiffre des unités (ex: 22, 33, 44).
- Fluctuation d'échantillonnage : La distinction entre probabilité théorique (0,25) et fréquence observée (0,23) est une notion fondamentale du programme de spécialité.
Correction détaillée
1. Liste des issues : Les 12 nombres possibles sont {12, 13, 14, 22, 23, 24, 32, 33, 34, 42, 43, 44}.
2. Probabilité d'obtenir un nombre impair : Les nombres impairs se terminent par 3 (puisque l'urne contient 2, 3, 4). Les issues sont {13, 23, 33, 43}. La probabilité est donc de $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
3. Évènement A (Premier et < 30) :
a) Les nombres inférieurs à 30 sont dans les séries 10 et 20. Parmi eux, les nombres premiers sont {13, 23}. La probabilité est $P(A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
b) Probabilité de l'évènement contraire $\bar{A}$ : $1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
4. Multiple de 11 : Les multiples de 11 possibles dans notre liste sont 22, 33 et 44 (11 est impossible car le 1 n'est pas dans l'urne). Il y a 3 issues favorables. $P = \frac{3}{12} = 0,25$.
Partie Algorithmie
5. Analyse du script :
a) Ligne 5 (Chiffre des unités) : 2 et 4 (car l'urne contient les boules 2, 3 et 4).
b) Ligne 6 (Condition de victoire) : Chiffre des dizaines = Chiffre des unités.
c) Pourquoi 0,23 au lieu de 0,25 ? Il s'agit de la fluctuation d'échantillonnage. Sur un petit échantillon (100 tirages), la fréquence observée a peu de chances d'être exactement égale à la probabilité théorique. Elle s'en rapprocherait si on augmentait le nombre de répétitions (loi des grands nombres).