Introduction aux notions de Probabilités et d'Arithmétique

Cet exercice issu du Brevet 2021 (Zone Étrangers) est un classique incontournable du programme de 3ème. Il combine deux piliers des mathématiques au collège : les probabilités et l'arithmétique. Dans la première partie, nous abordons une expérience aléatoire simple (le lancer d'un dé unique), tandis que la seconde partie explore une expérience à deux épreuves (le lancer de deux dés simultanés). L'objectif pédagogique est double : maîtriser le calcul de probabilités dans une situation d'équiprobabilité et mobiliser ses connaissances sur les nombres (multiples, diviseurs, nombres premiers). Pour réussir cet exercice, il est essentiel de comprendre comment structurer un univers d'issues possibles, notamment via un tableau à double entrée.

Analyse Méthodique : Partie 1 - Lancer de dé simple

La première partie repose sur un dé bien équilibré à six faces. L'expression « bien équilibré » garantit une situation d'équiprobabilité : chaque face a la même chance d'apparaître, soit une probabilité de $1/6$.

1. Les issues possibles : Il s'agit simplement de lister les résultats que l'on peut lire sur la face supérieure. Ici, les issues sont : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Aucune justification n'est attendue, mais il est crucial de ne pas en oublier.

2. Probabilité de l'évènement A : Obtenir 2 correspond à une seule issue favorable sur six issues au total. La probabilité est donc $P(A) = \frac{1}{6}$.

3. Probabilité de l'évènement B : Les nombres impairs entre 1 et 6 sont 1, 3 et 5. Il y a donc 3 issues favorables. $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, soit 0,5 ou 50 % de chances.

Analyse Méthodique : Partie 2 - Somme de deux dés

Ici, la complexité augmente. On ne s'intéresse plus aux faces individuelles, mais à la somme (le « score ») des deux dés. L'univers change : il y a désormais $6 \times 6 = 36$ issues possibles.

1. L'évènement impossible : On demande la probabilité que le score soit 13. Or, le score maximum est de $6 + 6 = 12$. Un score de 13 est donc impossible. Sa probabilité est 0. On appelle cela un évènement impossible.

2. Le tableau à double entrée : C'est l'outil indispensable. En remplissant les 36 cases (sommes de 1+1 à 6+6), on visualise l'ensemble des résultats. Par exemple, pour obtenir 7, on peut faire (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2) ou (6;1). Liste des scores possibles : {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12}.

3. Calculs avancés :
- Évènement D (score 10) : En regardant le tableau, les combinaisons donnant 10 sont (4;6), (5;5) et (6;4). Il y a 3 issues favorables sur 36. $P(D) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
- Évènement E (multiple de 4) : Les multiples de 4 possibles ici sont 4, 8 et 12. Comptons dans le tableau : pour 4 (3 issues), pour 8 (5 issues), pour 12 (1 issue). Total : $3 + 5 + 1 = 9$ issues. $P(E) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Démonstration : Nombres Premiers vs Scores > 7

C'est la question la plus technique de l'exercice. Elle demande une rigueur d'énumération.
- Scores nombres premiers : Les nombres premiers possibles entre 2 et 12 sont 2, 3, 5, 7, 11. Comptons les occurrences dans le tableau : Score 2 (1 fois), Score 3 (2 fois), Score 5 (4 fois), Score 7 (6 fois), Score 11 (2 fois). Total : $1+2+4+6+2 = 15$ issues favorables.
- Scores strictement plus grands que 7 : Il s'agit des scores 8, 9, 10, 11, 12. Comptons : Score 8 (5 fois), Score 9 (4 fois), Score 10 (3 fois), Score 11 (2 fois), Score 12 (1 fois). Total : $5+4+3+2+1 = 15$ issues favorables.
Puisque le nombre d'issues est identique (15 sur 36), les probabilités sont égales ($15/36$). La proposition est démontrée.

Les Pièges Classiques à Éviter

Le premier piège est de croire qu'il y a 11 issues possibles (les scores de 2 à 12) et que chaque score a une probabilité de 1/11. C'est faux car les scores n'ont pas la même probabilité d'apparaître (il est plus facile de faire 7 que 2). Il faut toujours se ramener aux 36 combinaisons des faces.
Un autre piège en arithmétique : le nombre 1 n'est pas un nombre premier. Cependant, ici le score minimum est 2, donc l'erreur est évitée naturellement, mais restez vigilants pour d'autres exercices ! Enfin, lisez bien les consignes : « strictement plus grand que 7 » exclut le chiffre 7 lui-même.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, suivez ces règles :
1. Citez le texte : Mentionnez que l'expérience est en situation d'équiprobabilité car les dés sont « bien équilibrés ».
2. Utilisez la formule : Écrivez au moins une fois $P = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}$.
3. Présentez vos résultats : Donnez vos probabilités sous forme de fractions simplifiées. Si le résultat tombe juste en décimal (comme 0,25), vous pouvez l'ajouter, mais la fraction est la valeur exacte par excellence.
4. Soignez le tableau : Si on vous demande de compléter un tableau sur le sujet, faites-le proprement à la règle, cela montre votre sérieux au correcteur.