Introduction aux Probabilités du Brevet

Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de 3ème. Cet exercice, issu du Brevet 2014 (Zone Nouvelle-Calédonie), utilise un support ludique et universel : le jeu du "Pierre-Feuille-Ciseaux" (ou Chifoumi). L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser une situation aléatoire, à calculer des probabilités simples et à construire un outil de dénombrement efficace : l'arbre des possibles. Dans ce contexte, chaque coup (Pierre, Feuille, Ciseaux) est considéré comme équiprobable, car l'adversaire joue "au hasard". Cette hypothèse est cruciale pour appliquer la formule de Laplace : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues totales}}$.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice se décompose en trois phases : une expérience simple, la modélisation d'une expérience à deux étapes, puis l'interprétation des résultats.

1. Analyse de la première partie (Expérience à une étape)

Dans la question 1, le joueur fixe son choix sur la "Pierre". L'univers des possibles pour l'adversaire est $\Omega = \{P, F, C\}$. La taille de cet univers est $n = 3$.
Question 1.a : Pour perdre la partie en ayant joué Pierre, l'adversaire doit avoir choisi la Feuille. Il n'y a qu'une seule issue favorable à cet événement sur les trois possibles. La probabilité est donc de $\frac{1}{3}$.
Question 1.b : "Ne pas perdre" signifie soit gagner, soit faire match nul. Si je joue Pierre, je gagne si l'adversaire joue Ciseaux, et je fais nul s'il joue Pierre. Il y a donc 2 issues favorables. Par ailleurs, on peut utiliser la notion d'événement contraire : $P(\text{ne pas perdre}) = 1 - P(\text{perdre}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Cette méthode est souvent plus rapide et limite les erreurs d'oubli.

2. Construction de l'arbre des possibles (Expérience à deux étapes)

La question 2 demande de représenter le jeu sur deux parties consécutives. Puisque l'adversaire joue au hasard à chaque fois, les deux parties sont indépendantes. Chaque partie offre 3 choix (P, F, C). Le nombre total d'issues pour les deux parties est donc de $3 \times 3 = 9$.
L'arbre doit comporter un premier niveau de 3 branches (P, F, C pour la première partie), puis de chaque branche doit partir un second niveau de 3 branches (P, F, C pour la seconde partie). On obtient les couples d'issues suivants : $(P,P) ; (P,F) ; (P,C) ; (F,P) ; (F,F) ; (F,C) ; (C,P) ; (C,F) ; (C,C)$.

3. Déduction et calculs de probabilités complexes

En s'appuyant sur l'arbre précédemment construit :
Question 3.a : Pour gagner les deux parties en jouant systématiquement Pierre, l'adversaire doit avoir joué Ciseaux aux deux tours. En observant l'arbre, seule l'issue $(C,C)$ correspond à ce scénario. Puisque nous sommes en situation d'équiprobabilité sur les 9 issues totales, la probabilité est de $\frac{1}{9}$.
Question 3.b : Ne perdre aucune des deux parties signifie que pour chaque tour, l'adversaire ne doit pas avoir joué Feuille. Pour le premier tour, il y a 2 choix (P ou C), et pour le deuxième tour, il y a également 2 choix (P ou C). Les issues favorables sont donc $(P,P) ; (P,C) ; (C,P) ; (C,C)$. Il y a 4 issues favorables sur 9. La probabilité est $\frac{4}{9}$.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal dans cet exercice de probabilités est de négliger le "match nul". Beaucoup d'élèves considèrent que s'ils ne gagnent pas, ils perdent forcément. Or, le texte précise bien les conditions du match nul. Lors du calcul de "ne pas perdre", il est impératif d'inclure les cas de match nul. Un autre piège fréquent concerne la construction de l'arbre : il faut veiller à ce qu'il soit bien lisible et que toutes les branches soient nommées (P, F, C) pour éviter les erreurs de comptage à la fin. Enfin, n'oubliez pas que les probabilités s'expriment généralement sous forme de fraction simplifiée ou de nombre décimal compris entre 0 et 1.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Nommez vos événements (ex: "Soit A l'événement : Je gagne la partie").
2. Énoncez la formule utilisée avant de faire le calcul : "En situation d'équiprobabilité, la probabilité est le rapport du nombre d'issues favorables sur le nombre d'issues totales".
3. Dessinez l'arbre à la règle. Un schéma propre montre au correcteur que vous avez une vision claire de l'espace échantillonné.
4. Donnez toujours vos résultats sous forme de fraction irréductible, c'est la forme la plus précise attendue par les professeurs de mathématiques.