Introduction aux notions clés du Brevet

L'exercice 2 du sujet Brevet 2019 (Série Étrangers) est un classique incontournable qui mobilise quatre piliers du programme de 3ème : le programme de calculs, le calcul littéral, l'utilisation d'un tableur et la résolution d'équations. Ces thématiques représentent souvent une part importante des points lors de l'examen final. L'objectif ici est de passer d'un raisonnement arithmétique (calcul avec des nombres) à un raisonnement algébrique (calcul avec des variables comme $x$).

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Tester le programme avec une valeur positive

La première question demande de vérifier que si l'on choisit $1$, on obtient $6$. C'est une question de mise en confiance. Suivons les étapes :
• Nombre de départ : $1$
• Carré du nombre : $1^2 = 1$
• Ajouter le triple du nombre : $1 + 3 \times 1 = 1 + 3 = 4$
• Ajouter $2$ : $4 + 2 = 6$.
Le résultat est bien $6$. La rédaction doit être claire et décomposée pour montrer au correcteur que vous avez compris chaque instruction.

2. Gérer les nombres relatifs et le carré

La deuxième question introduit un nombre négatif : $-5$. C'est ici que réside le premier piège. Rappelez-vous que le carré d'un nombre négatif est toujours positif car $(-5) \times (-5) = 25$.
• Départ : $-5$
• Carré : $(-5)^2 = 25$
• Triple du départ : $3 \times (-5) = -15$
• Somme : $25 + (-15) + 2 = 25 - 15 + 2 = 12$.
Le résultat est donc $12$.

3. Passage à l'expression littérale

Exprimer le résultat en fonction de $x$ est l'étape cruciale pour transformer l'algorithme en fonction. En suivant les étapes sur $x$, on obtient : $x \rightarrow x^2 \rightarrow x^2 + 3x \rightarrow x^2 + 3x + 2$. L'expression recherchée est donc $f(x) = x^2 + 3x + 2$.

4. La preuve par le développement (Double Distributivité)

On nous demande de montrer que $x^2 + 3x + 2$ est égal à $(x+2)(x+1)$. En mathématiques, pour prouver une égalité de ce type, la méthode la plus simple consiste à développer l'expression factorisée :
$(x+2)(x+1) = x \times x + x \times 1 + 2 \times x + 2 \times 1 = x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$.
L'égalité est vérifiée pour toutes les valeurs de $x$. Cela prouve que le programme de calcul peut être modélisé par un produit de deux facteurs.

5. Analyse du Tableur et Équation Produit-Nul

La question sur le tableur évalue votre capacité à traduire une formule mathématique en langage machine. Dans la cellule B2, pour calculer l'expression $(x+2)(x+1)$ à partir de la valeur de $x$ située en B1, la formule est =(B1+2)*(B1+1). N'oubliez jamais le signe = au début de la formule.
Enfin, trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles le résultat est $0$ revient à résoudre l'équation produit : $(x+2)(x+1) = 0$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On résout donc séparément :
• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
• $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
Les deux solutions sont $-2$ et $-1$. On peut d'ailleurs vérifier ces résultats dans les colonnes D et E du tableau fourni.

Les Pièges à Éviter

Attention à la priorité des opérations et surtout à la gestion des parenthèses dans le tableur. Une erreur classique consiste à écrire B1+2*B1+1 sans parenthèses, ce qui fausserait totalement le calcul. De même, lors du passage au carré de $-5$, l'absence de parenthèses sur votre calculatrice pour $-5^2$ donnerait $-25$ au lieu de $25$, ce qui est une faute majeure.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Annoncez toujours ce que vous calculez (ex: "Calculons le résultat pour -5").
2. Détaillez les étapes de calcul littéral ligne par ligne.
3. Pour l'équation produit, citez explicitement la propriété : "Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un des facteurs est nul".
4. Pour le tableur, écrivez la formule exactement comme elle apparaîtrait sur un écran d'ordinateur.