Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2024 (Polynésie) est un modèle du genre. Il mobilise des compétences transversales essentielles du programme de 3ème : les fonctions, le tableur, l'algorithmique (Scratch) et le calcul littéral. L'objectif central est de résoudre une équation de la forme $f(x) = g(x)$ en utilisant trois approches différentes : numérique, informatique et algébrique. Cette pluridisciplinarité permet d'évaluer la capacité de l'élève à changer de registre de représentation.

Analyse de la Partie A : Calculs d'images et d'antécédents

La première partie demande de manipuler directement les expressions des fonctions $f(x) = (x + 2)^2 - x$ et $g(x) = 7x + 4$.

Pour calculer l'image de $-4$ par $f$, l'élève doit remplacer $x$ par $-4$ dans l'expression de $f$. Le point de vigilance ici réside dans la gestion des parenthèses et des nombres négatifs : $f(-4) = (-4 + 2)^2 - (-4)$. Le calcul devient $f(-4) = (-2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8$. Il est crucial de rappeler que le carré d'un nombre négatif est toujours positif.

La recherche d'un antécédent de $3$ par $g$ nécessite de résoudre l'équation $g(x) = 3$. Soit $7x + 4 = 3$, ce qui donne $7x = -1$ et donc $x = -\frac{1}{7}$. L'élève doit bien faire la distinction entre « calculer l'image » (trouver $y$ connaissant $x$) et « chercher l'antécédent » (trouver $x$ connaissant $y$).

Analyse de la Partie B : Trois approches pour une équation

1. L'approche Tableur (Paul)

L'utilisation du tableur est fréquente au Brevet. Pour la cellule B3, qui calcule $g(-3)$, la formule doit commencer par un signe égal. Puisque $g(x) = 7x + 4$, et que la valeur de $x$ se trouve en cellule B1, la formule est =7*B1+4. L'étirement de la formule permet d'automatiser le calcul pour les autres colonnes.

Pour résoudre $f(x) = g(x)$ via le tableau, on cherche les colonnes où les lignes 2 et 3 affichent la même valeur. On observe qu'en cellule E2 et E3, le résultat est 4. La solution lue est donc la valeur de $x$ correspondante en cellule E1, soit $x = 0$. Attention : le tableur ne montre que des valeurs discrètes ; il pourrait y avoir d'autres solutions entre deux entiers.

2. L'approche Algorithmique (Jane)

Le programme Scratch simule le calcul des fonctions. La ligne 4 doit définir la variable « image par g ». En s'appuyant sur l'expression $g(x) = 7x + 4$, les blocs doivent être configurés pour effectuer 7 * réponse + 4.

Si l'utilisateur choisit 0, le programme calcule $f(0) = (0+2)^2 - 0 = 4$ et $g(0) = 7(0) + 4 = 4$. Comme $4 = 4$, la condition « si » est vraie, et le lutin dira que le nombre choisi est une solution. Cela confirme le résultat trouvé par Paul.

3. L'approche Algébrique (Morgane)

C'est la méthode la plus rigoureuse car elle permet de trouver toutes les solutions réelles. L'équation $f(x) = g(x)$ se traduit par $(x + 2)^2 - x = 7x + 4$. En développant l'identité remarquable, on obtient $x^2 + 4x + 4 - x = 7x + 4$. En simplifiant : $x^2 + 3x + 4 = 7x + 4$. En soustrayant $7x$ et $4$ de chaque côté, on arrive bien à $x^2 - 4x = 0$.

La factorisation de $x^2 - 4x$ par $x$ (facteur commun) donne $x(x - 4)$. On applique alors la propriété du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On a donc $x = 0$ ou $x - 4 = 0$ (soit $x = 4$). Les solutions exactes sont donc $0$ et $4$.

Les Pièges à Éviter

1. Identités remarquables : Ne pas oublier le double produit lors du développement de $(x + 2)^2$. L'erreur classique serait d'écrire $x^2 + 4$.
2. Signes : Faire attention au signe moins devant le $x$ dans l'expression de $f(x)$.
3. Tableur : Confondre la valeur de la solution ($x$) avec la valeur de l'image ($f(x)$).
4. Interprétation : Morgane est la seule à avoir véritablement « résolu » l'équation au sens complet du terme, car elle a trouvé l'intégralité des solutions (le tableur et le test Scratch s'arrêtaient à des valeurs limitées ou entières).

Conseils de Rédaction

Pour obtenir tous les points, l'élève doit justifier chaque étape. Lors de l'utilisation du tableur, citez les cellules : « En comparant la ligne 2 et la ligne 3, on voit que pour $x=0$, $f(0)=g(0)=4$ ». Pour la factorisation, énoncez clairement la propriété du produit nul. Une réponse parachutée, même juste, ne rapporte qu'une partie des points.