Introduction aux notions du Brevet 2024

Cet exercice issu de la session 2024 (Antilles-Guyane) constitue un pilier de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet. Il mobilise des compétences transversales essentielles : le calcul littéral, la maîtrise des programmes de calcul, la résolution d'équations du second degré (via la forme factorisée) et l'initiation à l'algorithmique avec le logiciel Scratch. Ces thématiques représentent souvent plus de 20% des points de l'épreuve. Comprendre comment passer d'un énoncé textuel à une expression algébrique est la clé de la réussite pour tout élève de 3ème.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice est structuré en cinq questions progressives qui guident l'élève de l'arithmétique simple vers l'abstraction algébrique et la programmation informatique.

1. Vérification par le calcul numérique

La première question demande de tester le programme avec la valeur 5. C'est une question de mise en confiance. Le raisonnement doit être décomposé étape par étape pour éviter toute erreur d'étourderie :
- Choisir 5 : $5$
- Mettre au carré : $5^{2} = 25$
- Soustraire le triple du nombre de départ : $25 - 3 \times 5 = 25 - 15 = 10$
- Soustraire 4 : $10 - 4 = 6$.
La rédaction sur la copie doit impérativement faire apparaître ces étapes intermédiaires pour justifier le résultat final de 6.

2. Passage au calcul littéral

Ici, on remplace le nombre concret par la variable $x$. C'est l'étape de modélisation. L'élève doit traduire chaque instruction en langage mathématique :
- Le carré de $x$ devient $x^{2}$
- Le triple de $x$ est $3x$
- Le résultat final s'écrit donc sous la forme de l'expression $f(x) = x^{2} - 3x - 4$. Cette expression est une fonction polynôme du second degré, bien que ce terme ne soit pas exigible en 3ème, sa manipulation est au cœur du programme.

3. Vérification de la forme factorisée

La question demande de vérifier que $(x+1)(x-4)$ est égal au résultat précédent. La méthode la plus sûre est de développer l'expression factorisée en utilisant la double distributivité :
$(x+1)(x-4) = x \times x + x \times (-4) + 1 \times x + 1 \times (-4)$
$= x^{2} - 4x + x - 4$
$= x^{2} - 3x - 4$.
L'égalité est ainsi démontrée. Cette étape est cruciale car elle prépare la résolution de l'équation suivante.

4. Résolution de l'équation produit nul

On cherche $x$ tel que le résultat soit 0. L'expression $x^{2} - 3x - 4 = 0$ est difficile à résoudre directement en 3ème. C'est pourquoi on utilise la forme factorisée obtenue à la question 3 : $(x+1)(x-4) = 0$.
Rappel de cours : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On résout donc deux équations simples :
- Soit $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
- Soit $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.
Les deux nombres de départ permettant d'obtenir 0 sont donc -1 et 4.

5. Algorithmique et programmation (Scratch)

L'analyse du script Scratch demande une correspondance stricte avec le programme de calcul.
- La ligne 4 correspond à la mise au carré : mettre y à x * x.
- La ligne 5 calcule déjà le triple (3 * x).
- La ligne 6 finalise le calcul en soustrayant le triple (z) et la constante 4 : mettre Résultat à y - z - 4.
L'élève doit être vigilant sur l'utilisation des variables x, y et z définies dans le script.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente concerne les signes lors du développement (question 3). Un oubli de signe moins devant le 4 peut fausser tout le résultat. De même, lors de la résolution de l'équation (question 4), les élèves confondent souvent les signes en passant les termes de l'autre côté de l'égalité ($x+1=0$ donne $x=-1$ et non $x=1$). Enfin, dans la partie Scratch, il ne faut pas oublier que l'instruction 'demander' stocke la valeur dans la variable système 'réponse', qu'il faut immédiatement assigner à $x$.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points :
1. Structurez vos calculs avec des tirets ou des étapes numérotées.
2. Encadrez vos résultats finaux.
3. Citez explicitement la propriété de l'équation produit nul, car les correcteurs valorisent la connaissance du cours autant que le résultat.
4. Pour Scratch, recopiez bien les lignes entières comme demandé, ne donnez pas juste le mot manquant.

Pourquoi cet exercice est-il important ?

Le calcul littéral est le langage des mathématiques. Ce type d'exercice permet de vérifier que vous savez non seulement manipuler des symboles, mais aussi traduire un algorithme logique en une formule mathématique. C'est une compétence fondamentale pour le lycée, que ce soit en filière générale ou technologique. En maîtrisant cet exercice, vous assurez une base solide pour la suite de votre scolarité.