Introduction aux programmes de calcul et à l'algorithmique

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2023 en Polynésie est une synthèse parfaite des compétences attendues en fin de cycle 4. Il mêle habilement le calcul littéral, l'algorithmique (via l'environnement Scratch) et la résolution d'équations-produits. Ce type d'exercice est récurrent au Brevet des Collèges car il permet d'évaluer la capacité de l'élève à passer d'un langage à l'autre : le langage naturel (énoncé), le langage de programmation (blocs Scratch) et le langage algébrique (équations).

Maîtriser ces notions est crucial. Le calcul littéral n'est pas seulement une manipulation de lettres, c'est l'outil qui permet de généraliser des processus numériques. Ici, le programme de calcul sert de fil conducteur pour démontrer que les mathématiques sont une science de la modélisation.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Compréhension du Programme de Calcul (Question 1)

La première étape consiste à tester le programme avec des valeurs numériques simples pour s'assurer de sa bonne compréhension. Pour le nombre 4 :
- Carré de 4 : $4^2 = 16$.
- Multiplier par 2 : $16 \times 2 = 32$.
- Ajouter le nombre de départ : $32 + 4 = 36$.
- Soustraire 66 : $36 - 66 = -30$.
Le résultat est bien $-30$. Cette question est un 'don' de points si vous respectez la hiérarchie des opérations.

Pour le nombre $-3$, la vigilance est de mise :
- Carré de $-3$ : $(-3)^2 = 9$ (Rappel : un carré est toujours positif !).
- Multiplier par 2 : $9 \times 2 = 18$.
- Ajouter le nombre de départ : $18 + (-3) = 15$.
- Soustraire 66 : $15 - 66 = -51$.
L'erreur classique ici serait d'écrire $-3^2 = -9$, ce qui fausserait tout le reste du raisonnement.

2. Traduction en Langage Scratch (Question 2)

La programmation par blocs demande une lecture attentive des variables.
Pour l'emplacement A : Le script veut calculer le carré. Comme la variable 'Résultat' est multipliée par 'Nombre choisi', et que 'Résultat' n'a pas encore été initialisé avec une valeur spécifique, le bloc 'mettre Résultat à A * nombre choisi' doit donner $x^2$. Donc A doit contenir 'nombre choisi'.
Pour l'emplacement B : On veut ensuite multiplier par 2. Le script indique 'mettre Résultat à B * Résultat'. Pour doubler la valeur précédente ($x^2$), B doit être égal à 2.

Concernant l'analyse de la réponse du lutin ($5,5$), il faut comprendre la boucle 'Répéter 20 fois'. Le script commence à 0 et augmente de 0,5 à chaque étape (0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5...). Le lutin dit 'On peut choisir 5,5' car pour cette valeur, la condition 'si Résultat = 0' est vérifiée. Cela signifie que 5,5 est une racine ou une solution du programme de calcul.

3. Passage à l'Expression Algébrique (Question 3)

En nommant $x$ le nombre de départ, on traduit chaque étape :
1. Choisir $x$.
2. Carré : $x^2$.
3. Multiplier par 2 : $2x^2$.
4. Ajouter $x$ : $2x^2 + x$.
5. Soustraire 66 : $2x^2 + x - 66$.
L'expression finale est donc $2x^2 + x - 66$.

La dernière question utilise la forme factorisée $(2x - 11)(x + 6)$. Pour que le résultat soit nul, on résout l'équation-produit :
$(2x - 11)(x + 6) = 0$.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :
- Soit $2x - 11 = 0 \Rightarrow 2x = 11 \Rightarrow x = 5,5$.
- Soit $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$.
On retrouve bien la valeur 5,5 trouvée par le lutin, ainsi qu'une deuxième solution, $-6$.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente concerne les signes lors de la manipulation des nombres relatifs, notamment au carré. Une autre confusion possible réside dans la lecture des blocs Scratch : ne confondez pas 'ajouter' (addition) et 'mettre à' (assignation). Dans le bloc de Lucie, remarquez que le script ne teste que des nombres positifs (de 0 à 10), c'est pourquoi il ne 'voit' pas la solution $-6$. Soyez très attentifs aux bornes des boucles de répétition.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Détaillez chaque étape du calcul numérique pour la question 1. Ne donnez pas juste le résultat final.
2. Pour Scratch, écrivez clairement 'A = nombre choisi' et 'B = 2' sur votre copie.
3. Pour l'équation-produit, énoncez la propriété : 'Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul'. C'est une phrase magique qui rassure le correcteur sur votre maîtrise théorique.