Introduction aux notions de l'exercice : Arithmétique et Probabilités

L'exercice 1 du sujet Brevet 2024 (Zone Antilles) est un classique incontournable qui combine deux piliers du programme de troisième : l'arithmétique (PGCD et décomposition en facteurs premiers) et les probabilités simples. Ces chapitres représentent souvent une part importante des points lors de l'examen final. L'objectif ici est de vérifier votre capacité à modéliser une situation concrète (la création de ballotins de mariage) à l'aide d'outils mathématiques rigoureux. Nous allons voir comment passer d'un problème de dénombrement à une analyse de diviseurs communs.

Analyse Méthodique de la Partie Probabilités

La première question nous plonge dans l'univers des probabilités discrètes. On nous présente deux types de dragées : $630$ roses et $810$ blanches. La question 1.a demande le total. C'est une étape de calcul mental ou de pose d'addition simple : $630 + 810 = 1440$. Pourquoi est-ce crucial ? Parce que ce nombre total constitue l'univers de notre expérience aléatoire, le dénominateur de toutes nos probabilités à venir. La question 1.b porte sur la probabilité de tirer une dragée blanche. La formule de base à appliquer est celle de Laplace : $P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas totaux}}$. Ici, les cas favorables sont les dragées blanches, soit $810$. Le calcul devient donc : $P = \frac{810}{1440}$. Pour une rédaction parfaite au Brevet, n'oubliez pas de simplifier cette fraction. En divisant par $10$, puis par $9$, on arrive à $P = \frac{9}{16}$. En probabilité, il est toujours préférable de laisser le résultat sous forme de fraction irréductible, sauf si l'énoncé demande une valeur décimale ou un pourcentage.

Analyse Méthodique de la Partie Arithmétique

La seconde partie de l'exercice bascule sur l'arithmétique. Il s'agit de répartir les dragées dans des ballotins identiques. Cela signifie que nous cherchons un diviseur commun aux deux nombres. Dans la question 2.a, on teste si $21$ est un diviseur commun. Pour cela, on effectue les divisions euclidiennes : $630 \div 21 = 30$ (le reste est nul, c'est bon). En revanche, $810 \div 21 \approx 38,57$. Le reste n'est pas nul. On conclut donc par une phrase claire : 'Il ne peut pas y avoir $21$ ballotins car $21$ ne divise pas $810$.' La question 2.b demande la décomposition en produits de facteurs premiers. C'est une compétence fondamentale. Pour $630$ : $630 = 63 \times 10 = 9 \times 7 \times 2 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7$. Pour $810$ : $810 = 81 \times 10 = 9^2 \times 2 \times 5 = 2 \times 3^4 \times 5$. Cette méthode de 'cascade' ou d'arbre de décomposition est la plus sûre pour ne pas oublier de facteurs. Enfin, la question 2.c nous demande le nombre maximum de ballotins. Le terme 'maximum' doit immédiatement vous faire penser au PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). En utilisant les décompositions précédentes, le PGCD est le produit des facteurs communs avec les plus petits exposants : $2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 2 \times 9 \times 5 = 90$. Anne et Jean peuvent donc réaliser $90$ ballotins au maximum. Pour la composition, il suffit de diviser les stocks par $90$ : $630 \div 90 = 7$ dragées roses et $810 \div 90 = 9$ dragées blanches par sachet.

Les Pièges à Éviter

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points sur ce type d'exercice : 1. Confondre les dragées blanches et roses lors du calcul de probabilité. Lisez l'énoncé deux fois ! 2. Oublier de justifier pourquoi $21$ ne fonctionne pas. Une simple division sur la calculatrice ne suffit pas, il faut préciser que la division n'est pas exacte. 3. Lors de la décomposition, oublier le chiffre $2$ ou s'arrêter à $9$ (qui n'est pas premier car $9 = 3^2$). 4. Pour le PGCD, prendre les plus grands exposants au lieu des plus petits (ce qui donnerait le PPCM, inutile ici).

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points sur la partie rédaction : - Citez vos sources : 'D'après l'énoncé, nous avons...' - Utilisez des connecteurs logiques : 'Or', 'On sait que', 'Donc'. - Encadrez vos résultats finaux. Par exemple, 'La composition de chaque ballotin est de $7$ roses et $9$ blanches.' - N'oubliez pas l'unité ou la nature de l'objet (ici, les dragées). Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$. Si vous trouvez $1,2$, c'est que vous avez inversé le numérateur et le dénominateur !