Introduction aux probabilités du Brevet

Le sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2014 en Polynésie propose un premier exercice fondamental sur les probabilités. Cette notion, centrale dans le programme de 3ème, repose sur l'analyse de situations aléatoires simples. Ici, l'élève est confronté à une expérience consistant à tirer une boule dans un sac, où chaque boule possède deux caractéristiques : une couleur (Rouge, Vert, Bleu) et une lettre (A ou B). Ce type d'exercice utilise un tableau à double entrée, un outil classique pour organiser des données et calculer des fréquences théoriques. Comprendre comment lire et interpréter ces données est essentiel pour tout candidat souhaitant réviser efficacement l'épreuve de mathématiques.

Analyse Méthodique de l'exercice

L'analyse commence par la compréhension globale du dispositif. Nous avons un sac contenant des boules indiscernables au toucher, ce qui garantit une situation d'équiprobabilité : chaque boule a la même chance d'être tirée au sort.

Question 1 : Déterminer l'effectif total

La première étape indispensable est de calculer le nombre total de boules dans le sac. Pour ce faire, il faut sommer toutes les valeurs présentes dans le tableau. L'élève doit additionner les effectifs de chaque cellule : $3 (Rouge, A) + 5 (Vert, A) + 2 (Bleu, A) + 2 (Rouge, B) + 2 (Vert, B) + 6 (Bleu, B)$. Le calcul donne : $3 + 5 + 2 + 2 + 2 + 6 = 20$. Il y a donc un total de 20 boules. Ce nombre servira de dénominateur pour tous les calculs de probabilités suivants.

Question 2a : Probabilité d'un événement élémentaire combiné

On nous demande de vérifier que la probabilité de tirer une boule bleue portant la lettre A est de $1/10$. Dans le tableau, l'intersection de la colonne 'Bleu' et de la ligne 'A' indique la valeur 2. Le nombre d'issues favorables est donc 2. La probabilité est définie par le ratio (nombre d'issues favorables) / (nombre d'issues totales), soit $2 / 20$. En simplifiant cette fraction par 2, on obtient bien $1/10$. C'est une vérification de la compréhension de la lecture de tableau.

Question 2b : Probabilité d'une couleur

Pour calculer la probabilité de tirer une boule rouge, il faut d'abord identifier toutes les boules rouges, indépendamment de la lettre inscrite. On additionne les boules rouges portant la lettre A (3) et celles portant la lettre B (2), ce qui nous donne $3 + 2 = 5$ boules rouges. La probabilité est donc $5 / 20$. En simplifiant par 5, on trouve $1/4$ ou $0,25$. Il y a donc 25% de chances de tirer une boule rouge.

Question 2c : Comparaison d'événements

La question demande si l'on a autant de chances de tirer la lettre A que la lettre B. Il faut comparer les sommes des lignes. Pour la lettre A : $3 + 5 + 2 = 10$. Pour la lettre B : $2 + 2 + 6 = 10$. Les deux sommes étant égales à 10, la probabilité de tirer une lettre A est $10/20 = 1/2$ et celle de tirer une lettre B est également $10/20 = 1/2$. La réponse est donc affirmative : il y a une chance sur deux pour chaque lettre.

Les Pièges à éviter

Le piège principal dans cet exercice est la mauvaise lecture du tableau. Attention à ne pas confondre les lignes et les colonnes. Par exemple, pour la question sur la boule rouge, certains élèves pourraient oublier de sommer les deux lignes (A et B) et ne donner que l'une des deux valeurs. Un autre piège fréquent est l'oubli de la simplification de la fraction. Bien que $2/20$ soit mathématiquement correct, le correcteur attend souvent la forme irréductible $1/10$ ou une valeur décimale.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, il est crucial de bien rédiger chaque étape. Commencez toujours par une phrase qui définit l'événement, par exemple : 'Soit E l'événement : tirer une boule rouge'. Présentez clairement votre calcul : 'P(E) = effectif favorable / effectif total'. N'oubliez jamais de conclure par une phrase réponse claire, en précisant si vous donnez le résultat sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

Approfondissement : Vers la classe de Seconde

Ce type d'exercice prépare à la notion de probabilités conditionnelles que vous verrez au lycée. Savoir manipuler des tableaux à double entrée permet de comprendre plus tard comment une caractéristique influe sur l'autre (par exemple, 'quelle est la probabilité d'avoir la lettre A sachant que la boule est bleue ?'). Maîtriser ces bases en 3ème est le gage d'une scolarité sereine en mathématiques.