Introduction aux Fonctions au Brevet : L'Exemple de Polynésie 2022

Le sujet du Brevet de Mathématiques de Polynésie (juin 2022) propose un exercice classique et fondamental sur les fonctions et la lecture graphique. À travers la gestion de tarifs pour une salle de sport, cet exercice permet de tester la capacité de l'élève à extraire des informations d'un repère orthogonal et à modéliser une situation réelle par des outils mathématiques. Dans cette analyse détaillée, nous allons décortiquer chaque question pour comprendre les attentes des correcteurs.

Analyse de la Question 1 : La Proportionnalité et sa Représentation

La première question demande si le tarif « liberté » est proportionnel au nombre d'heures. En mathématiques de 3ème, la proportionnalité est liée aux fonctions linéaires. Graphiquement, une situation de proportionnalité se traduit par une droite qui passe impérativement par l'origine du repère (le point $(0;0)$). En observant la droite $(d_1)$ (représentant le tarif Liberté), on constate qu'elle part de l'origine. On peut donc conclure que le prix payé est proportionnel au temps passé. Pour la rédaction, il est essentiel d'écrire : 'La représentation graphique est une droite passant par l'origine, donc c'est une situation de proportionnalité'. Cela montre que vous maîtrisez la propriété géométrique associée à la notion algébrique.

Analyse de la Question 2 : Images et Antécédents par Lecture Graphique

Cette partie évalue le vocabulaire technique des fonctions. L'image se lit sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical), tandis que l'antécédent se cherche sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal).
Pour 2.a : Chercher l'image de $5$ par $f$ signifie partir de la valeur $5$ sur l'axe des heures, monter verticalement jusqu'à la droite $(d_1)$, puis regarder horizontalement la valeur correspondante en euros. Graphiquement, on trouve $25$. Donc, $f(5) = 25$.
Pour 2.b : Chercher l'antécédent de $10$ par $g$ consiste à faire le chemin inverse. On part de $10$ sur l'axe des prix, on se déplace horizontalement vers la droite $(d_2)$, puis on descend pour lire l'abscisse. On trouve $1$. Cela signifie que pour payer $10$ euros avec le tarif abonné, il faut effectuer $1$ heure.

Analyse de la Question 3 : Comparaison de Tarifs et Optimisation

C'est l'un des points les plus importants pour l'épreuve : savoir interpréter l'intersection de deux courbes. Le tarif le plus avantageux est celui représenté par la droite située en dessous de l'autre pour une valeur de $x$ donnée. On remarque que les deux droites se croisent à un point précis ($x=3$). Avant $3$ heures, la droite $(d_1)$ est sous $(d_2)$ : le tarif Liberté est plus économique. Après $3$ heures, c'est la droite $(d_2)$ qui passe en dessous : le tarif Abonné devient plus intéressant. À exactement $3$ heures, les deux tarifs coûtent le même prix ($15$ €).

Analyse de la Question 4 : Modélisation et Extrapolation

La question 4 demande de calculer le prix pour $15$ heures. Le graphique s'arrêtant à $11$ heures, une lecture directe est impossible. Il faut donc déterminer l'expression algébrique de la fonction $f$. Comme $f$ est linéaire, elle est de la forme $f(x) = ax$. Grâce à la question 2.a, on sait que pour $5$ heures, on paie $25$ €. Le coefficient de proportionnalité est donc $a = 25 / 5 = 5$. La fonction est $f(x) = 5x$. Pour $15$ heures, le calcul est $f(15) = 5 \times 15 = 75$ €. Même si vous n'arrivez pas au résultat final, expliquer que vous cherchez le prix pour une heure (le coefficient) permet de grappiller des points de démarche.

Les Pièges Classiques à Éviter

1. **Confondre les axes** : C'est l'erreur la plus fréquente. Rappelez-vous : 'x' est l'antécédent (horizontal), 'y' est l'image (vertical).
2. **Oublier les unités** : Dans vos réponses, précisez toujours s'il s'agit d'euros ou d'heures.
3. **Négliger la justification** : Sur la proportionnalité, ne dites pas juste 'oui'. Citez la droite et l'origine.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Utilisez des phrases types comme : 'Par lecture graphique, on observe que...' ou 'La droite $(d_1)$ étant située au-dessus de la droite $(d_2)$ pour $x > 3$...'. Une copie claire avec des pointillés tracés au crayon sur le graphique (si le sujet le permet) est toujours valorisée par le correcteur. Ce chapitre sur les fonctions est un pilier du programme de troisième et revient quasiment chaque année sous une forme ou une autre. Maîtriser ce passage de Polynésie 2022 vous assure une base solide pour votre diplôme national du brevet.