Introduction aux Fonctions et à la Modélisation Réelle

Dans cet exercice du Brevet des collèges (Zone Asie, 2013), nous abordons une notion fondamentale du programme de mathématiques de troisième : les fonctions. Ici, la fonction n'est pas présentée sous une forme algébrique classique (comme $f(x) = ax + b$), mais sous une forme graphique. Elle modélise une situation concrète : l'évolution du débit d'une connexion internet en fonction de la distance séparant un modem du central téléphonique. En mathématiques, on dit que le débit est une fonction de la distance. Comprendre cette relation de cause à effet est essentiel pour interpréter les données numériques du quotidien.

Analyse Méthodique : Question 1 - Lecture d'Image

La première question nous demande de déterminer le débit obtenu par Marie, qui habite à $2,5$ km du central. En langage mathématique, il s'agit de trouver l'image de $2,5$ par la fonction représentée. Pour réussir cette étape, l'élève doit suivre une méthodologie rigoureuse de lecture graphique. Tout d'abord, il faut repérer la valeur $2,5$ sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal, représentant la distance en km). Une fois ce point identifié, on remonte verticalement jusqu'à rencontrer la courbe bleue. À partir de ce point d'intersection, on se déplace horizontalement vers la gauche pour lire la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical, représentant le débit en Mbit/s). En observant attentivement le quadrillage, on constate que pour une distance de $2,5$ km, le débit associé est de $10$ Mbit/s. Il est crucial de bien repérer les unités : ici, chaque grand intervalle de $5$ unités sur l'axe vertical est subdivisé, permettant une lecture précise.

Analyse Méthodique : Question 2 - Recherche d'Antécédent

La deuxième question inverse le raisonnement : on connaît le débit ($20$ Mbit/s) et on cherche la distance. C'est ce qu'on appelle la recherche d'un antécédent. La méthode est symétrique à la précédente. On part de la valeur $20$ sur l'axe des ordonnées. On trace une ligne horizontale imaginaire (ou en pointillés) jusqu'à couper la courbe. Une fois l'intersection trouvée, on descend verticalement vers l'axe des abscisses. On lit alors la valeur $1,5$. La conclusion est que Paul habite à $1,5$ km du central téléphonique. Cette compétence est primordiale car elle simule la résolution de l'équation $f(x) = 20$ par le biais de l'outil graphique.

Analyse Méthodique : Question 3 - Résolution d'une Inéquation

La troisième question introduit la notion d'inéquation graphique. Le problème pose une condition : le débit doit être « au moins de $15$ Mbit/s ». Mathématiquement, nous cherchons l'intervalle des distances $x$ tel que $f(x) \ge 15$. Pour répondre à la question de la « distance maximum », l'élève doit repérer la valeur $15$ sur l'axe des débits, tracer la ligne horizontale correspondante et observer quelle partie de la courbe se situe au-dessus de cette ligne. On remarque que la courbe descend : plus on s'éloigne, plus le débit chute. Le point critique où le débit est exactement de $15$ Mbit/s se situe à une distance de $2$ km. Par conséquent, pour avoir un débit supérieur ou égal à $15$, il faut être à une distance comprise entre $0$ et $2$ km. La distance maximum pour recevoir la télévision par internet est donc de $2$ km.

Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve

Le premier piège classique est l'inversion des axes. Rappelez-vous toujours que l'axe horizontal (abscisses) porte la variable de contrôle (ici la distance), tandis que l'axe vertical (ordonnées) porte le résultat ou l'effet observé (le débit). Un autre point de vigilance concerne la précision de la lecture. Au Brevet, les correcteurs attendent que l'élève utilise les graduations fournies. Ne donnez pas une valeur au hasard ; si la courbe passe exactement par un croisement de lignes du quadrillage, utilisez cette précision. Enfin, attention à la lecture de la consigne : « au moins 15 » signifie 15 ou plus, ce qui implique une zone sur le graphique et non un point unique.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'écrire le résultat numérique. Utilisez des phrases de liaison telles que : « Par lecture graphique, on observe que... ». Pour la question 1, une formulation idéale serait : « Pour une distance de $2,5$ km sur l'axe des abscisses, on lit une valeur de $10$ Mbit/s sur l'axe des ordonnées. Le débit de Marie est donc de $10$ Mbit/s. » Pensez à toujours mentionner les unités (km, Mbit/s) dans votre phrase de conclusion. Si le sujet le permet, laissez les traits de construction (en pointillés légers) sur le graphique pour montrer au correcteur que vous avez compris la méthode de lecture.