Introduction aux notions de fonctions au Brevet

L'exercice 8 du sujet de mathématiques du Brevet 2013 en Nouvelle-Calédonie est un classique absolu du programme de troisième. Il mobilise deux piliers majeurs du socle commun : le calcul numérique et l'étude des fonctions (constantes, linéaires et affines). L'objectif est ici de modéliser une situation concrète, issue de l'univers des jeux vidéo, à l'aide d'outils mathématiques. Nous allons voir comment transformer des énoncés textuels en expressions algébriques puis en représentations graphiques pour comparer l'évolution de trois personnages : un guerrier, un mage et un chasseur.

Analyse Méthodique : Du texte aux points de compétences

La première étape de l'exercice demande une lecture attentive des conditions initiales et des taux d'évolution. C'est ce qu'on appelle la phase de modélisation. Pour la question 1, il suffit d'extraire les valeurs au niveau 0 : le guerrier commence à $50$, le mage à $0$ et le chasseur à $40$. Ici, aucune difficulté de calcul, mais une rigueur nécessaire pour ne pas confondre les personnages. On en déduit immédiatement que le guerrier est le plus fort au départ et le mage le moins fort.

La question 2, le tableau de valeurs, est le pont entre l'énoncé et la fonction. Pour remplir les cases, l'élève doit appliquer un raisonnement itératif. Par exemple, pour le mage qui gagne $3$ points par niveau, au niveau $5$, il aura $5 \times 3 = 15$ points. Pour le chasseur qui commence avec un capital de $40$ et gagne $1$ point par niveau, au niveau $15$, il aura $40 + 15 = 55$ points. Quant au guerrier, il est régi par une fonction constante : peu importe le niveau, son score reste bloqué à $50$. C'est une notion souvent mal comprise par les élèves qui cherchent parfois à ajouter des points là où il n'y en a pas.

De l'Arithmétique à l'Algèbre : Identification des fonctions

La question 4 est le cœur conceptuel de l'exercice. On demande d'associer des expressions de type $f(x)$ aux personnages.
- $g(x) = 50$ correspond au guerrier. C'est une fonction constante dont la courbe est une droite parallèle à l'axe des abscisses.
- $f(x) = 3x$ correspond au mage. C'est une fonction linéaire, traduisant une situation de proportionnalité pure (le mage commence à zéro).
- $h(x) = x + 40$ correspond au chasseur. Il s'agit d'une fonction affine. Le '+ 40' représente l'ordonnée à l'origine (les points de départ).

Savoir nommer ces fonctions est essentiel pour le jour de l'examen. Une fonction linéaire passe toujours par l'origine $(0,0)$, tandis qu'une fonction affine croise l'axe des ordonnées à la valeur de sa constante.

Analyse Graphique et Résolution de Problèmes

La construction graphique (question 5) demande de la précision. Pour tracer les droites représentatives, il est conseillé d'utiliser les points calculés dans le tableau de la question 2. Pour le mage, on placera les points $(0,0)$ et $(10,30)$. Pour le chasseur, $(0,40)$ et $(10,50)$. La lecture graphique (question 6) permet de déterminer le moment où le mage surpasse ses rivaux. On cherche graphiquement l'abscisse du point d'intersection où la droite du mage passe au-dessus des autres. C'est une compétence clé : savoir interpréter une position relative de courbes comme une inégalité numérique.

Les Pièges à éviter au Brevet

Le piège principal dans ce type d'exercice réside dans les unités des axes. Sur le graphique proposé, l'échelle des ordonnées est de 5 points par carreau. Une erreur de graduation lors du tracé des droites $f$ et $h$ fausserait toute l'analyse finale. Attention également à ne pas confondre le 'niveau' (axe des abscisses, horizontal) et les 'points' (axe des ordonnées, vertical). Un autre piège fréquent est d'oublier de justifier la réponse à la question 3. On attend de vous une équation simple : $x + 40 = 50$, d'où $x = 10$. Ne vous contentez pas de donner le chiffre sans le calcul.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour séduire le correcteur, soyez structuré. Pour chaque question, commencez par une phrase d'introduction du type : 'D'après l'énoncé...' ou 'En utilisant la fonction h...'. Lorsque vous complétez le tableau, montrez au moins un calcul type pour prouver votre méthode. Pour la lecture graphique, tracez des pointillés sur votre copie (si le support le permet) pour montrer comment vous êtes arrivé à la solution 'niveau 17' ou 'niveau 20'. La clarté du raisonnement est aussi importante que la justesse du résultat final. Enfin, vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : si vous trouvez qu'un personnage a des points négatifs, relisez l'énoncé !