Introduction aux notions de Géométrie et Grandeurs Composées

Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2019 pour la zone Amérique du Nord, est un cas d'étude complet qui mêle la géométrie dans l'espace, le calcul numérique et l'utilisation de grandeurs composées. Les élèves de troisième y sont confrontés à une situation concrète : l'empilement de boulets de canon au XVIème siècle. Pour réussir cette épreuve, il faut maîtriser trois piliers du programme de mathématiques : le calcul de volumes (la sphère), la compréhension des suites logiques (empilements pyramidaux) et la manipulation de la masse volumique.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Compréhension de la structure pyramidale

Les deux premières questions sollicitent votre sens de l'observation et votre capacité à modéliser une situation visuelle. L'empilement est décrit comme une pyramide à base carrée. Cela signifie que chaque étage correspond au carré d'un nombre entier.
Pour un empilement à 1 niveau : 1² = 1 boulet.
Pour un empilement à 2 niveaux : on ajoute un socle de 2x2. Soit 1² + 2² = 1 + 4 = 5 boulets.
Pour la question 2, le raisonnement s'étend : l'empilement à 3 niveaux contient l'étage supérieur (1), l'étage intermédiaire (4) et la base de 3x3 (9). Le calcul est simple : $1 + 4 + 9 = 14$. Expliquer ce passage par la somme des carrés est la clé pour obtenir tous les points de rédaction.

2. Recherche de l'empilement à 55 boulets

La question 3 demande de remonter le fil de la logique. On cherche n tel que la somme des carrés de 1 à n soit égale à 55. Testons les niveaux suivants :
Niveau 4 : $14 + 4^2 = 14 + 16 = 30$.
Niveau 5 : $30 + 5^2 = 30 + 25 = 55$.
L'empilement comporte donc 5 niveaux. C'est une excellente introduction aux suites numériques que vous verrez au lycée.

3. Calcul de masse et conversion d'unités

La question 4 est la plus technique car elle combine plusieurs étapes de calcul. On nous donne la masse volumique en $\text{kg/m}^3$ ($7300$) et un rayon en $\text{cm}$ ($6$).
Première étape : Calculer le volume d'un boulet.
La formule est fournie : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = 288\pi \text{ cm}^3 \approx 904,78 \text{ cm}^3$.
Deuxième étape : Conversion cruciale.
La masse volumique étant en $m^3$, il faut convertir le volume du boulet en $m^3$. Attention : $1 \text{ m}^3 = 1,000,000 \text{ cm}^3$.
$904,78 \text{ cm}^3 = 0,00090478 \text{ m}^3$.
Troisième étape : Masse totale.
L'empilement à 3 niveaux contient 14 boulets. La masse totale est donc : $M = 14 \times 0,00090478 \times 7300$.
Le calcul donne environ $92,46 \text{ kg}$. Arrondi au kg près, on retrouve bien les $92 \text{ kg}$ demandés par l'énoncé.

Les Pièges à éviter le jour du Brevet

Le piège principal réside dans les unités. Beaucoup d'élèves multiplient directement le volume en $\text{cm}^3$ par la masse volumique en $\text{kg/m}^3$, ce qui donne un résultat incohérent. Pensez toujours à vérifier la cohérence de vos unités. Un autre piège est l'oubli du nombre de boulets : l'énoncé demande la masse de l'empilement (14 boulets) et non d'un seul boulet.
Enfin, l'utilisation de la touche $\pi$ de la calculatrice est préférable à l'approximation 3,14 pour éviter les erreurs d'arrondi intermédiaires qui pourraient fausser votre résultat final.

Conseils de Rédaction pour le DNB

Pour chaque question, commencez par citer la formule utilisée (Volume de la boule, formule de la masse $m = \rho \times V$). Présentez clairement vos calculs et n'oubliez pas de conclure par une phrase réponse incluant l'unité (kg). Dans la question 4, l'énoncé vous donne le résultat à trouver ($92 \text{ kg}$), c'est une aide ! Si vous ne trouvez pas cette valeur, cherchez l'erreur dans vos conversions de centimètres cubes en mètres cubes.