Introduction aux notions du Brevet 2022

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2022 pour la zone Amérique du Nord est un questionnaire à choix multiple (QCM). Ce format est particulièrement prisé par l'Éducation Nationale car il permet de balayer un spectre large du programme de mathématiques de 3ème en un seul exercice. Ici, nous allons aborder six piliers fondamentaux : le calcul de probabilités, la gestion des ratios, l'identification de fonctions linéaires, la décomposition en facteurs premiers (arithmétique) et le calcul de volumes dans l'espace. La particularité d'un QCM au brevet est qu'aucune justification n'est demandée, mais le raisonnement au brouillon doit être rigoureux pour éviter les distracteurs (les mauvaises réponses plausibles).

Analyse Méthodique des Questions

1. Probabilités : Le tirage de dé à 20 faces

La première question porte sur une situation d'équiprobabilité. On lance un dé équilibré à 20 faces. L'univers des possibles contient donc 20 issues distinctes, notées de 1 à 20. L'événement considéré est « obtenir un numéro inférieur ou égal à 5 ». Les issues favorables sont donc {1; 2; 3; 4; 5}. Il y a 5 issues favorables sur un total de 20 issues possibles. La probabilité est définie par le rapport : nombre d'issues favorables / nombre d'issues total, soit $P = \frac{5}{20}$. En simplifiant cette fraction par 5, nous obtenons $P = \frac{1}{4}$. L'élève doit être vigilant et ne pas s'arrêter à la fraction non simplifiée si elle ne figure pas dans les choix, ou ne pas confondre avec $\frac{1}{5}$ qui serait le cas d'un dé à 25 faces.

2. Ratio et Proportions : Le mélange de boisson

La question du ratio est souvent source de confusion. Un ratio de 1:7 entre le sirop et l'eau signifie que pour 1 volume de sirop, on ajoute 7 volumes d'eau. Cela signifie que le volume total de la boisson est composé de $1 + 7 = 8$ parts égales. Pour préparer $560$ mL de boisson, nous devons d'abord déterminer la valeur d'une seule part : $560 / 8 = 70$ mL. Comme nous cherchons la quantité d'eau, et que l'eau représente 7 parts, le calcul final est $70 \times 7 = 490$ mL. Le piège classique serait de diviser 560 par 7 directement (donnant 80 mL, réponse B), ce qui correspondrait à un volume total erroné ou à une mauvaise interprétation du ratio.

3. Fonctions Linéaires : Déterminer le coefficient

Une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$. L'énoncé précise que $f(\frac{4}{5}) = 1$. Cela nous donne l'équation $a \times \frac{4}{5} = 1$. Pour trouver le coefficient $a$, il suffit d'isoler $a$ en multipliant par l'inverse de la fraction : $a = 1 / (\frac{4}{5}) = \frac{5}{4}$. Ainsi, l'expression de la fonction est $f(x) = \frac{5}{4}x$. Les réponses A et D proposent des fonctions affines (avec une addition ou soustraction), ce qui est incompatible avec la définition d'une fonction linéaire qui modélise une situation de proportionnalité.

4. Arithmétique : Décomposition en facteurs premiers

La décomposition d'un nombre entier en produit de facteurs premiers consiste à l'écrire uniquement comme produit de nombres qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes (2, 3, 5, 7, 11, 13...). Analysons $195$. Comme il se termine par 5, il est divisible par 5 : $195 = 5 \times 39$. Cependant, 39 n'est pas un nombre premier car la somme de ses chiffres ($3+9=12$) est dans la table de 3. Donc $39 = 3 \times 13$. 13 est bien un nombre premier. La décomposition finale est donc $3 \times 5 \times 13$. Les réponses A et D sont des produits, mais 39 et 65 ne sont pas des nombres premiers, elles sont donc incomplètes.

5. Géométrie dans l'espace : Volume du prisme droit

Le volume d'un prisme droit est donné par la formule : $V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$. Ici, la base est un triangle rectangle (indiqué par le codage de l'angle droit). Les dimensions de ce triangle sont 5 cm et 3 cm. L'aire de la base est donc $(5 \times 3) / 2 = 7,5$ cm². La hauteur du prisme, qui est la distance entre les deux faces triangulaires parallèles, est de 8 cm. Le volume est donc $V = 7,5 \times 8 = 60$ cm³. Le piège serait de ne pas diviser par 2 l'aire du triangle (ce qui donnerait 120 cm³, réponse D) ou de multiplier toutes les dimensions entre elles sans réfléchir à la nature de la base.

Les Pièges à Éviter

Dans un QCM, les erreurs les plus fréquentes sont : 1. La lecture trop rapide de l'énoncé (confondre inférieur et strictement inférieur). 2. L'oubli de la notion de "part totale" dans les ratios. 3. La confusion entre fonction linéaire (passe par l'origine) et affine. 4. L'arrêt précoce de la décomposition en facteurs premiers. Pour réussir, utilisez toujours votre brouillon pour poser les calculs avant de regarder les propositions.

Conseils de Rédaction

Même si aucune justification n'est demandée, la clarté est essentielle. Sur votre copie, présentez vos réponses proprement sous forme de liste : 1) Réponse B ; 2) Réponse D, etc. Ne cherchez pas à réécrire l'énoncé, cela vous ferait perdre un temps précieux que vous devriez consacrer aux exercices plus longs comme ceux sur Scratch ou les problèmes complexes de géométrie.