Introduction aux notions du Brevet : Algorithmique et Gestion de Données

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2022 (Zone Asie) est un modèle du genre. Il combine trois piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème : le calcul numérique appliqué à des situations concrètes, l'algorithmique via le logiciel Scratch, et les pourcentages liés aux réductions commerciales. Dans cet exercice, l'élève doit démontrer sa capacité à passer d'un énoncé textuel (les tarifs d'une boutique de photos) à une modélisation mathématique, puis à une structure logique de programmation.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Compréhension du barème de prix

La première difficulté réside dans la compréhension de la tarification par paliers. On parle ici d'une fonction affine par morceaux. Le premier palier concerne les photos de 1 à 100 à $0,17\,€$ l'unité. Dès que l'on dépasse la 100ème photo, le prix change. Pour la question 1.a, il s'agit d'un calcul linéaire simple : $35 \times 0,17 = 5,95\,€$.

Pour la question 1.b, le raisonnement se complexifie : pour 150 photos, on paye un forfait de $17\,€$ pour les 100 premières, puis un prix réduit de $0,13\,€$ pour les 50 suivantes (soit $150 - 100$). Le calcul devient : $17 + 50 \times 0,13 = 17 + 6,5 = 23,50\,€$. Ce résultat confirme bien l'énoncé.

2. Inversion du calcul (Le budget limité)

À la question 1.c, on dispose de $10\,€$. La première étape est d'identifier dans quel palier on se situe. Puisque $10 < 17$, on est forcément dans le premier palier. L'équation à résoudre est $0,17 \times x = 10$, soit $x = 10 / 0,17 \approx 58,82$. Attention ici : on cherche un nombre entier de photos, et on ne peut pas dépasser le budget. Il faut donc arrondir à l'unité inférieure : 58 photos maximum.

Logique de Programmation : Compléter le Script Scratch

Le script Scratch est la représentation visuelle de la règle de calcul. Voici l'analyse des lignes à compléter :

• Ligne 4 : On teste la condition de basculement. Si `Nb photos < 101` (ou `Nb photos <= 100`).
• Ligne 5 : Dans le cas où on a moins de 100 photos, le prix est `Nb photos * 0,17`.
• Ligne 8 : Pour le second palier (le 'sinon'), le prix est calculé à partir du forfait fixe de $17\,€$ additionné aux photos supplémentaires. Il faut donc mettre `17`.

L'algorithmique au Brevet demande une lecture attentive des variables. Ici, la variable `Nb photos supplémentaires` est cruciale pour isoler les unités dépassant le seuil critique.

Maîtriser les Pourcentages et les Réductions

La dernière partie introduit les soldes avec une réduction de $30\%$. Deux méthodes s'offrent à l'élève :

1. Calculer la remise ($23,50 \times 0,30 = 7,05$) puis l'enlever au prix initial ($23,50 - 7,05 = 16,45\,€$).
2. Utiliser le coefficient multiplicateur : une baisse de $30\%$ revient à multiplier par $1 - (30/100) = 0,7$. Ainsi, $23,50 \times 0,7 = 16,45\,€$.

Dans le logiciel Scratch (Question 3.b), les propositions 2 et 4 sont mathématiquement correctes. La proposition 2 (`Prix - Prix * 0.3`) décompose la remise, tandis que la proposition 4 (`Prix * 0.7`) utilise le coefficient multiplicateur direct.

Pièges à éviter et Conseils de Rédaction

Les pièges classiques :
- Confondre le prix total du palier 2 avec un prix unitaire global. On ne paye pas toutes les photos à $0,13\,€$, seulement celles au-dessus de 100.
- Dans le script Scratch, oublier de vérifier le nom des variables. Ne pas confondre `Prix` et `Nb photos`.
- Lors des pourcentages, calculer la réduction mais oublier de la soustraire au prix d'origine.

Conseils pour la copie : Présentez toujours vos calculs de manière décomposée. Pour les pourcentages, précisez le coefficient multiplicateur utilisé. Pour Scratch, recopiez bien le numéro de la ligne comme demandé par l'énoncé pour faciliter le travail du correcteur.