Introduction : Les enjeux de la tâche complexe au Brevet

L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet 2019 (Sujet Étrangers) est ce que l'on appelle une tâche complexe ou un exercice à prise d'initiative. Contrairement aux questions de cours classiques, il ne s'agit pas d'appliquer une seule formule mais de structurer un raisonnement en plusieurs étapes pour résoudre un problème de la vie courante. Ici, l'élève doit manipuler trois thématiques majeures : le calcul numérique (gestion d'un budget), la géométrie dans l'espace (calcul de volume d'un cylindre) et l'organisation de données extraites de documents variés. L'objectif est de vérifier si un budget de 200 € est suffisant pour l'achat et le fonctionnement saisonnier d'une piscine.

Analyse Méthodique du Problème

Pour réussir cet exercice, il convient de décomposer la dépense totale en trois blocs distincts : le prix d'achat, le coût de l'eau et le coût de l'électricité.

1. L'achat initial

Le Document 1 fournit l'information de base : le kit (piscine + pompe) coûte 80 €. C'est une valeur fixe qui servira de base à notre somme finale.

2. Le calcul du volume d'eau et son coût

C'est l'étape la plus technique. On nous donne la formule du volume d'un cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$. Attention aux pièges !
Le rayon ($r$) : Le schéma indique un diamètre de 4 m. Le rayon est donc de 2 m ($4 / 2$).
La hauteur d'eau ($h$) : Le document indique 65 cm. Pour rester cohérent avec le prix de l'eau donné en m³, il faut impérativement convertir cette hauteur en mètres : $h = 0,65$ m.
Le calcul : $V = \pi \times 2^2 \times 0,65 = \pi \times 4 \times 0,65 = 2,6\pi \approx 8,168$ m³.
Une fois le volume obtenu, on calcule le prix de l'eau grâce au Document 3 : $8,168 \times 2,03 \approx 16,58$ €.

3. Le coût de l'électricité sur la saison

La pompe est utilisée de juin à septembre inclus. Il faut donc déterminer le nombre total de jours :
Juin (30) + Juillet (31) + Août (31) + Septembre (30) = 122 jours.
La consommation quotidienne est de 3,42 kWh. La consommation totale sera donc de $122 \times 3,42 = 417,24$ kWh.
Le prix du kWh étant de 0,15 € (Document 2), le coût électrique total est de $417,24 \times 0,15 \approx 62,59$ €.

Synthèse Finale et Conclusion

Somme des dépenses : $80$ (achat) + $16,58$ (eau) + $62,59$ (électricité) = $159,17$ €.
En comparant ce résultat au budget initial de $200$ €, on constate que $159,17 < 200$. La famille dispose donc d'un budget suffisant. Il est crucial pour l'élève de rédiger une phrase de conclusion explicite pour valider la réponse.

Les Pièges à Éviter

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter cher en points :
1. Confondre diamètre et rayon : Utiliser 4 au lieu de 2 dans la formule du volume est l'erreur la plus fréquente.
2. Oublier les conversions : Multiplier des mètres par des centimètres rend le résultat faux d'un facteur 100.
3. Le calendrier : Mal compter les jours des mois d'été (juillet et août ont tous deux 31 jours).
4. L'oubli de l'achat : Se concentrer uniquement sur les consommables et oublier les 80 € du kit de départ.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points sur une tâche de ce type, il faut absolument détailler vos calculs. Même si votre résultat final est erroné à cause d'une petite erreur de calcul, le correcteur pourra vous attribuer des points de "démarche" ou de "méthode". Utilisez des titres pour chaque étape (Exemple : "Étape 1 : Coût de l'eau") et n'oubliez jamais de préciser les unités (mètres, m³, euros). Une copie propre avec une conclusion soulignée est le meilleur moyen de rassurer le correcteur sur votre maîtrise du sujet.