Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du Brevet 2024 (Polynésie) est un modèle du genre pour réviser quatre piliers du programme de 3ème : les volumes, les fonctions, les vitesses (débits) et les grandeurs composées. Il demande à l'élève de passer d'une situation concrète (la vidange d'une piscine) à une modélisation mathématique abstraite (une fonction affine). La maîtrise de ces concepts est essentielle pour réussir l'épreuve de mathématiques, car ils représentent souvent une part importante des points de l'épreuve écrite.

Analyse Méthodique : Le Volume et le Débit

La première partie de l'exercice se concentre sur la géométrie dans l'espace. Pour calculer le volume du bassin cylindrique, il faut impérativement connaître la formule : $V = \pi \times r^2 \times h$. Ici, avec un rayon $r = 3,60$~m et une hauteur $h = 1,50$~m, le calcul devient $V = \pi \times 3,60^2 \times 1,50$. L'élève doit être vigilant sur l'utilisation de la touche $\pi$ de sa calculatrice pour obtenir une précision maximale avant d'arrondir au dixième, soit $61,1$~m$^3$.

Ensuite, la notion de débit intervient. Le débit est une grandeur composée ($m^3/h$). Pour répondre à la question 2, on calcule le volume évacué en 2 heures : $14,1 \times 2 = 28,2$~m$^3$. Le volume restant est la différence : $61,1 - 28,2 = 32,9$~m$^3$. Cette étape prépare l'élève à la modélisation fonctionnelle qui suit.

Passage à la Modélisation : La Fonction V(t)

La question 3 introduit la fonction $V(t) = 61,1 - 0,235t$. Le point crucial ici est le changement d'unité de temps. Le débit initial est de $14,1$~m$^3$ pour 60 minutes. Pour trouver le débit par minute, on effectue $14,1 / 60 = 0,235$~m$^3$/min. C'est ce coefficient que l'on retrouve dans l'expression de la fonction. Le terme $61,1$ représente le volume initial (l'ordonnée à l'origine), et $-0,235$ représente la diminution du volume par minute (le coefficient directeur négatif).

Pour calculer le temps nécessaire pour atteindre $30$~m$^3$, l'élève doit résoudre l'équation : $61,1 - 0,235t = 30$. Cela implique de savoir isoler l'inconnue $t$ : $0,235t = 61,1 - 30$, soit $t = 31,1 / 0,235 \approx 132$ minutes. Savoir manipuler ces équations est une compétence de base du socle commun.

Lecture Graphique et Interprétation

La dernière partie sollicite les capacités d'analyse graphique. L'élève doit comprendre que l'axe des abscisses représente le temps $t$ en minutes et l'axe des ordonnées le volume $V(t)$ en $m^3$.
1. Antécédent de 40 : Il faut repérer la valeur 40 sur l'axe vertical, rejoindre la droite, puis lire la valeur correspondante sur l'axe horizontal (environ 90 min). L'interprétation est simple : au bout de 90 minutes, il reste 40 $m^3$ dans la piscine.
2. Vidange complète : Elle correspond au point où la droite coupe l'axe des abscisses ($V(t) = 0$). Graphiquement, on observe que cela se produit aux alentours de 260 minutes.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal de cet exercice réside dans les unités. Passer de l'heure à la minute est une source d'erreur fréquente. Rappelez-vous toujours que si un débit est donné par heure, il faut diviser par 60 pour l'obtenir par minute. Un autre point de vigilance concerne les arrondis : ne pas arrondir trop tôt dans les calculs intermédiaires pour ne pas fausser le résultat final. Enfin, dans la lecture graphique, ne confondez pas 'image' (lecture sur l'axe $y$) et 'antécédent' (lecture sur l'axe $x$).

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez toujours la formule utilisée (ex: "On sait que le volume d'un cylindre est...").
- Présentez vos calculs de manière linéaire et claire.
- Pour les lectures graphiques, laissez apparaître les traits de construction en pointillés sur votre copie : c'est une preuve de votre raisonnement pour le correcteur.
- N'oubliez jamais l'unité dans votre phrase de conclusion ($m^3$, minutes, etc.).