Introduction aux notions du Brevet : Fonctions et Tableur

L'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) accorde une place prépondérante à l'étude des fonctions et à l'utilisation des outils numériques comme le tableur. Dans cet exercice issu de la session 2015 (Métropole), nous abordons une fonction de second degré sous sa forme factorisée : $f(x) = (x - 1)(2x - 5)$. L'objectif est de croiser les compétences de calcul algébrique, de lecture de données dans un tableau et de résolution d'équations. Ces notions sont fondamentales pour la réussite en classe de 3ème et préparent directement au programme de Seconde. Maîtriser le passage entre l'expression littérale et l'image par un tableau est une compétence clé attendue par les correcteurs.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice commence par une phase de vérification de connaissances via trois affirmations. C'est un format classique qui demande une rigueur de rédaction particulière.

1. Validation des Affirmations

Affirmation 1 : $f(2) = 3$. Pour vérifier cela, deux méthodes s'offrent à l'élève. La première est la lecture directe dans le tableau fourni. On cherche la colonne où $x = 2$ (colonne D) et on regarde la ligne 2. On y lit $-1$. La seconde méthode est le calcul algébrique : $f(2) = (2 - 1)(2 \times 2 - 5) = 1 \times (4 - 5) = 1 \times (-1) = -1$. L'affirmation est donc fausse. Il est crucial ici de ne pas confondre les colonnes ou d'oublier la priorité des opérations dans la parenthèse.

Affirmation 2 : L'image de 11 est 170. Ici, le tableau s'arrête à $x=8$. Le calcul manuel est donc indispensable. En remplaçant $x$ par 11 : $f(11) = (11 - 1)(2 \times 11 - 5) = 10 \times (22 - 5) = 10 \times 17 = 170$. L'affirmation est vraie. Notez que l'image est le résultat de la fonction pour une valeur donnée en entrée.

Affirmation 3 : La fonction $f$ est linéaire. Rappelons qu'une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Or, ici, si $x = 0$, $f(0) = 5$ (vu dans le tableau, colonne B). Pour une fonction linéaire, l'image de 0 doit être 0. De plus, l'expression développée donnerait du $x^2$, ce qui caractérise une fonction du second degré. L'affirmation est donc fausse.

Utilisation du Tableur en Mathématiques

La question 2 porte sur la syntaxe d'un tableur. C'est un point souvent négligé mais qui rapporte des points faciles. On demande la formule saisie en B2. Dans un tableur, toute formule commence par le signe égal (=). La valeur de $x$ se trouve en cellule B1. L'expression $f(x) = (x - 1)(2x - 5)$ doit donc être traduite en langage informatique : =(B1-1)*(2*B1-5). Attention : il ne faut pas oublier les astérisques pour les multiplications, car le logiciel ne comprend pas la notation juxtaposée du calcul littéral.

Résolution de l'Équation Produit Nul

La question 3 demande de trouver les valeurs de $x$ telles que $(x - 1)(2x - 5) = 0$. Il s'agit d'une équation produit nul. Un principe fondamental de l'algèbre dit qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
On a donc deux cas possibles :
1) $x - 1 = 0$, ce qui nous donne $x = 1$.
2) $2x - 5 = 0$, soit $2x = 5$, d'où $x = 5/2$ ou $x = 2,5$.
Les deux solutions sont 1 et 2,5. On peut d'ailleurs vérifier dans le tableau que pour $x=1$, l'image est bien 0.

Les Pièges à Éviter

• L'erreur de signe : Lors du calcul de $f(2)$, beaucoup d'élèves oublient que $4 - 5$ donne un nombre négatif. Soyez vigilants avec les relatifs.
• La confusion Linéaire/Affine/Autre : Une fonction n'est linéaire que si elle représente une situation de proportionnalité. Si le tableau ne montre pas un coefficient de proportionnalité constant entre la ligne 1 et la ligne 2, elle n'est pas linéaire.
• Oubli du '=' dans le tableur : Sans le signe égal, le tableur affiche le texte tel quel sans effectuer le calcul.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, structurez vos réponses. Pour chaque affirmation, écrivez explicitement 'Vrai' ou 'Faux' après votre démonstration. Pour la résolution d'équation, citez toujours la propriété : 'Un produit de facteurs est nul si...'. Cela montre au correcteur que vous ne devinez pas le résultat mais que vous appliquez une règle de mathématiques apprise en cours. Enfin, soignez la présentation de vos calculs intermédiaires, notamment pour le calcul de l'image de 11.