Introduction : L'importance du calcul littéral au Brevet

Le calcul littéral et les programmes de calculs constituent l'un des piliers fondamentaux du programme de mathématiques de troisième (3ème). Cet exercice, tiré du sujet Brevet 2015 Amérique du Nord (Exercice 4), est un exemple classique de ce que l'on attend d'un élève en fin de cycle 4. Il ne s'agit pas seulement de manipuler des chiffres, mais de savoir traduire un énoncé en langage mathématique rigoureux. Maîtriser ce chapitre permet de sécuriser des points précieux lors de l'examen national, car les mécaniques de résolution sont souvent similaires d'une année à l'autre.

Analyse Méthodique : Traduire l'énoncé en équation

Pour résoudre ce problème, la première étape indispensable est de choisir une inconnue. Posons $x$ comme étant le nombre auquel je pense. L'analyse du texte se décompose alors en plusieurs étapes logiques :

• Étape 1 : Je pense à un nombre. On écrit : $x$.
• Étape 2 : Je lui soustrais 10. On obtient l'expression : $(x - 10)$.
• Étape 3 : J'élève le tout au carré. Attention ici, c'est l'ensemble du bloc précédent qui est concerné : $(x - 10)^2$.
• Étape 4 : Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j'ai pensé. L'expression devient : $(x - 10)^2 - x^2$.
• Étape 5 : L'égalité finale. On nous dit que le résultat est $-340$. Nous obtenons donc l'équation suivante : $(x - 10)^2 - x^2 = -340$.

Développement et Résolution Algébrique

Pour trouver la valeur de $x$, nous devons développer l'identité remarquable présente dans l'expression. Rappelons que $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
En appliquant cela à $(x - 10)^2$, nous obtenons : $x^2 - 2 imes x imes 10 + 10^2$, ce qui se simplifie en $x^2 - 20x + 100$.

Réinjectons ce développement dans notre équation de départ :
$(x^2 - 20x + 100) - x^2 = -340$.

On remarque immédiatement une simplification majeure : les termes en $x^2$ s'annulent ($x^2 - x^2 = 0$). C'est une caractéristique rassurante des exercices de Brevet de ce type, qui ramène souvent une expression apparemment complexe du second degré à une simple équation du premier degré.

Il nous reste donc :
$-20x + 100 = -340$.

Pour isoler $x$, nous soustrayons 100 des deux côtés :
$-20x = -340 - 100$
$-20x = -440$.

Enfin, nous divisons par $-20$ :
$x = rac{-440}{-20}$.
$x = 22$.

Le nombre pensé au départ était donc **22**.

Les Pièges à Éviter

Plusieurs erreurs classiques peuvent freiner l'élève dans cet exercice :
1. L'oubli de l'identité remarquable : Beaucoup d'élèves écrivent $(x - 10)^2 = x^2 - 100$. C'est une erreur grave qui oublie le double produit ($-20x$). Sans ce terme, l'équation devient impossible ou mène à un résultat erroné.
2. La gestion des signes négatifs : Lors de l'étape finale de division, il faut être vigilant. Diviser un nombre négatif par un nombre négatif donne un résultat positif.
3. La confusion entre carré et double : Soustraire le carré de $x$ ($x^2$) n'est pas la même chose que soustraire le double de $x$ ($2x$).

Conseil de Rédaction pour réussir l'épreuve

Pour obtenir l'intégralité des points, il est crucial de bien présenter sa copie. Commencez par définir clairement l'inconnue : "Soit $x$ le nombre choisi au départ". Présentez chaque étape du programme de calcul avant de poser l'équation. Une fois le résultat trouvé, effectuez une vérification rapide au brouillon :
Si on prend 22 :
22 - 10 = 12
12² = 144
144 - 22² = 144 - 484 = -340. Le résultat est vérifié ! Concluez toujours par une phrase réponse claire et soulignée.