Introduction aux notions de Fonctions et de Tableur au Brevet
L'exercice 7 du sujet Brevet Asie 2019 est un classique incontournable qui combine deux piliers du programme de mathématiques de 3ème : les fonctions affines et l'utilisation du tableur. Dans cette épreuve, l'élève doit démontrer sa capacité à passer d'une représentation algébrique $f(x) = ax + b$ à une représentation graphique, tout en maîtrisant les outils numériques de calcul automatisé. Comprendre le lien entre une expression, une courbe et une cellule de tableur est essentiel pour valider le socle commun de compétences.
Analyse Méthodique : Identifier une représentation graphique
La première question demande d'identifier laquelle des deux courbes, $C_1$ ou $C_2$, représente la fonction $f$ définie par $f(x) = -2x + 8$. Pour un expert en mathématiques, plusieurs indices sautent aux yeux. Premièrement, $f$ est une fonction affine de la forme $ax + b$. Sa représentation graphique est donc obligatoirement une droite. Sur le graphique fourni, $C_2$ est une droite tandis que $C_1$ est une courbe (une parabole). De plus, le coefficient directeur $a = -2$ est négatif, ce qui signifie que la fonction est décroissante. L'ordonnée à l'origine $b = 8$ confirme que la droite doit couper l'axe des ordonnées au point (0 ; 8). Tous ces éléments désignent sans ambiguïté la droite $C_2$ comme étant la représentation de $f$.
Calcul d'image et lecture graphique : f(3)
La question 2 porte sur le calcul de $f(3)$. Deux approches sont possibles, mais le calcul algébrique reste le plus précis. En remplaçant $x$ par 3 dans l'expression $f(x) = -2x + 8$, nous obtenons $f(3) = -2 \times 3 + 8$. En respectant les priorités opératoires, on calcule d'abord le produit : $-6 + 8 = 2$. Graphiquement, on peut vérifier ce résultat en partant de l'abscisse 3 sur l'axe horizontal, en montant verticalement jusqu'à la droite $C_2$, puis en lisant la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées, qui est bien 2. Cette double vérification est une excellente habitude à prendre pour limiter les erreurs d'étourderie.
Recherche d'antécédent : Trouver le nombre qui a pour image 6
La question 3 inverse le processus : on cherche $x$ tel que $f(x) = 6$. Cela revient à résoudre l'équation du premier degré : $-2x + 8 = 6$. Pour isoler l'inconnue $x$, on soustrait d'abord 8 des deux côtés de l'égalité : $-2x = 6 - 8$, soit $-2x = -2$. Enfin, on divise par $-2$, ce qui nous donne $x = \frac{-2}{-2} = 1$. L'antécédent de 6 par la fonction $f$ est donc 1. Sur le graphique, cela correspond au point de la droite $C_2$ situé à la hauteur 6 (ordonnée), dont l'abscisse est bien 1.
Maîtrise du Tableur : La formule de calcul
La dernière partie de l'exercice simule l'utilisation d'un tableur (comme Excel ou LibreOffice Calc). Pour calculer automatiquement les images de la ligne 1 dans la ligne 2, il faut saisir une formule en cellule B2 qui reflète l'expression $f(x) = -2x + 8$. En informatique, toute formule commence par le signe "=". Puisque la valeur de $x$ se trouve en cellule B1 pour la première colonne de calcul, la formule exacte à saisir est =-2*B1+8. L'utilisation de l'astérisque (*) pour la multiplication et de la référence relative B1 permet, lors de l'étirement de la formule vers la droite, que B1 devienne C1, puis D1, etc., calculant ainsi les images respectives de chaque valeur de $x$ sans effort supplémentaire.
Les Pièges à éviter et Conseils de Rédaction
Attention aux signes ! Une erreur fréquente consiste à oublier le signe moins devant le coefficient directeur lors du calcul de l'image ou de la résolution d'équation. Concernant le tableur, n'oubliez jamais le signe "=" initial ; sans lui, le logiciel affichera le texte mais n'effectuera aucun calcul. Pour la rédaction au Brevet, soyez explicites : citez la fonction, montrez les étapes de votre calcul, et concluez par une phrase claire comme "L'antécédent de 6 par $f$ est 1". Pour l'identification de la courbe, justifiez par la nature de la fonction (affine = droite) pour obtenir le maximum de points.