Introduction : Les Systèmes et la Modélisation au Brevet

Cet exercice, issu de la session 2013 en Amérique du Nord, aborde une thématique classique mais aujourd'hui classée comme Hors programme dans le socle commun strict de la classe de 3ème : la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues. Bien que la résolution formelle soit désormais davantage traitée en classe de Seconde, la capacité à modéliser un problème concret sous forme d'équations reste une compétence transversale fondamentale pour tout élève préparant le Brevet des Collèges. L'énoncé nous place dans une situation de la vie courante : Arthur et sa tirelire. Ici, l'objectif est de traduire des phrases en français mathématique pour trouver deux valeurs inconnues. Nous allons explorer comment poser les variables et résoudre ce défi étape par étape.

Analyse Méthodique : Du Texte aux Équations

L'analyse commence toujours par l'identification des inconnues. L'énoncé demande combien Arthur possède de billets de chaque sorte. Nous avons deux types de billets : ceux de $5$ € et ceux de $10$ €. Nous poserons donc naturellement :
- Soit $x$ le nombre de billets de $5$ €.
- Soit $y$ le nombre de billets de $10$ €.

La première contrainte est le nombre total de billets : Arthur en possède $21$. On traduit cela par l'équation (1) : $x + y = 21$.
La deuxième contrainte est la valeur totale de la tirelire : $125$ €. Sachant que $x$ billets de $5$ valent $5x$ et que $y$ billets de $10$ valent $10y$, on obtient l'équation (2) : $5x + 10y = 125$.

Nous nous retrouvons face à un système de deux équations à deux inconnues. Bien que ce soit "hors programme", un élève astucieux peut aussi résoudre cela par tâtonnement organisé ou par substitution simple, ce qui rend l'exercice formateur pour le raisonnement logique.

Résolution pas à pas par Substitution

Pour résoudre ce système, la méthode de substitution est la plus intuitive. À partir de l'équation (1), on exprime $x$ en fonction de $y$ : $x = 21 - y$. On injecte ensuite cette expression dans l'équation (2) :
$5(21 - y) + 10y = 125$.
On développe : $105 - 5y + 10y = 125$.
On simplifie les termes en $y$ : $105 + 5y = 125$.
On isole l'inconnue : $5y = 125 - 105$, soit $5y = 20$.
On trouve ainsi $y = 4$.

Maintenant que nous savons qu'Arthur possède $4$ billets de $10$ €, on revient à l'expression de $x$ : $x = 21 - 4 = 17$. Arthur possède donc $17$ billets de $5$ € et $4$ billets de $10$ €.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal dans ce type de problème est de mélanger les deux équations. Souvent, les élèves écrivent $x + y = 125$, ce qui signifierait qu'Arthur a 125 billets, ce qui est faux. Il est crucial de bien séparer l'équation de "quantité" (le nombre d'objets) et l'équation de "valeur" (le prix ou la somme totale). Un autre piège est l'oubli de la vérification. En fin d'exercice, vérifiez toujours vos résultats : $17 + 4 = 21$ (Correct) et $17 \times 5 + 4 \times 10 = 85 + 40 = 125$ (Correct). Enfin, n'oubliez pas que si vous bloquez sur la méthode algébrique, une recherche par essais successifs (tableau de valeurs) est toujours valorisée par les correcteurs si elle est clairement expliquée sur la copie.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir tous les points, la rédaction doit être rigoureuse. Commencez par une phrase explicite pour définir vos variables : "Appelons $x$ le nombre de billets de 5 euros...". Ensuite, présentez clairement votre système ou votre raisonnement. Même si l'exercice est hors programme, le correcteur cherche à évaluer votre démarche scientifique. Comme l'indique l'énoncé : "Laisse une trace de la recherche". Une tentative de résolution logique, même si elle n'aboutit pas au résultat final, permet de récolter des points de compétence liés au domaine "Chercher" et "Modéliser". Terminez toujours par une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée, en précisant les unités.