Introduction aux Systèmes d'Équations du Brevet 2015
L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet 2015 pour la zone Nouvelle-Calédonie est un classique de l'algèbre. Bien que ce type de résolution de problèmes soit aujourd'hui parfois considéré comme Hors programme dans le socle commun strict de la classe de troisième (souvent déplacé vers la seconde pour sa résolution formelle par système), il reste un pilier du raisonnement mathématique. Cet exercice demande à l'élève de passer d'un énoncé textuel complexe à une modélisation mathématique rigoureuse. Nous allons voir comment transformer une commande de livres de français et de mathématiques en un système de deux équations à deux inconnues, une compétence clé pour quiconque souhaite exceller en sciences.
Analyse Méthodique : La Mise en Équation
La première étape cruciale, et souvent la plus difficile pour les élèves, est le choix des inconnues. Dans cet exercice de 2015, nous cherchons le nombre de livres de chaque sorte. Posons donc :
- \(x\) : le nombre de livres de mathématiques.
- \(y\) : le nombre de livres de français.
L'énoncé nous donne deux informations capitales qui se traduisent par deux égalités distinctes. Premièrement, le nombre total de livres est de 30. Cela nous donne notre première équation : \(x + y = 30\). Deuxièmement, le coût total est de \(80000\)~F. Sachant qu'un livre de maths coûte \(3000\)~F et un livre de français \(2000\)~F, nous obtenons la seconde équation : \(3000x + 2000y = 80000\).
Astuce de professeur : Pour simplifier les calculs dans la deuxième équation, on peut diviser tous les termes par 1000. On obtient alors un système beaucoup plus maniable :
1) \(x + y = 30\)
2) \(3x + 2y = 80\)
Résolution du Problème : Substitution ou Combinaison
Pour résoudre ce système, deux méthodes s'offrent à vous. La méthode par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans la première équation, par exemple \(y = 30 - x\), puis à remplacer \(y\) dans la deuxième équation. Cela donne : \(3x + 2(30 - x) = 80\). En développant, on trouve \(3x + 60 - 2x = 80\), d'où \(x = 20\). Une fois \(x\) trouvé, on calcule \(y = 30 - 20 = 10\).
L'analyse du raisonnement montre que l'élève doit être capable de gérer la distribution des termes et le regroupement des membres de l'équation. C'est ici que la rigueur est payante. Une simple erreur de signe ou de calcul mental peut fausser tout le résultat final. C'est pourquoi la vérification est l'étape ultime indispensable : \(20 + 10 = 30\) (le compte de livres est bon) et \(20 \times 3000 + 10 \times 2000 = 60000 + 20000 = 80000\) (le budget est respecté). La solution est donc 20 livres de mathématiques et 10 livres de français.
Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction
L'un des pièges majeurs de cet exercice réside dans l'oubli des unités ou la mauvaise identification des inconnues. Il n'est pas rare de voir des élèves inverser \(x\) et \(y\) lors de la rédaction finale. De plus, la mention « toute trace de recherche sera prise en compte » est un indice précieux. Même si vous n'arrivez pas à résoudre le système, montrez que vous avez compris qu'il y a deux contraintes (le nombre de livres et le prix). Un schéma ou un essai par tâtonnement structuré peut vous rapporter des points précieux au Brevet.
Pour une rédaction parfaite :
1. Annoncez clairement vos inconnues.
2. Écrivez le système d'équations correspondant à l'énoncé.
3. Présentez les étapes de votre résolution (substitution ou combinaison linéaire).
4. Concluez par une phrase réponse claire qui reprend les termes de la question initiale.
Pourquoi maîtriser les systèmes d'équations même en 'Hors Programme' ?
Même si les programmes scolaires évoluent et que la résolution formelle de systèmes de deux équations à deux inconnues est parfois mise de côté en troisième au profit d'autres notions, elle reste le fondement de la programmation linéaire et de l'optimisation. En maîtrisant cet exercice du Brevet 2015, vous vous préparez efficacement pour la classe de Seconde où ces concepts seront approfondis. L'esprit de synthèse nécessaire pour lier deux grandeurs différentes (quantité et prix) est une compétence transversale qui vous servira en physique-chimie et en économie. S'entraîner sur des annales comme celle de Nouvelle-Calédonie est la meilleure stratégie pour développer cette agilité mentale.