Introduction au Calcul Littéral au Brevet
L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet de Pondichéry 2016 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui se concentre sur les fondamentaux du calcul littéral, les équations produits et la manipulation des racines carrées. Bien que le format QCM n'impose aucune justification, la réussite de cet exercice repose sur une maîtrise rigoureuse des identités remarquables et des propriétés de l'algèbre. En tant qu'expert, je vous suggère de traiter chaque question comme si une démonstration était demandée pour éviter les erreurs d'étourderie classiques. Les thèmes abordés ici, comme le développement de $(a-b)^2$ ou la résolution de $(x+1)(2x-5)=0$, sont des piliers du programme de troisième, même si certaines manipulations de racines carrées peuvent désormais être considérées comme à la limite ou hors programme selon les allègements récents des cycles.
Analyse Question 1 : Le développement de l'identité remarquable
La première question demande de développer l'expression $(2x-3)^2$. C'est une application directe de la deuxième identité remarquable : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Ici, nous identifions clairement $a = 2x$ et $b = 3$. Le calcul doit se décomposer ainsi : d'abord le carré du premier terme $(2x)^2$, ce qui donne $4x^2$ ; ensuite le double produit $2 \times 2x \times 3$, ce qui donne $12x$ ; et enfin le carré du second terme $3^2$, ce qui donne $9$. L'expression finale est donc $4x^2 - 12x + 9$. Le piège principal ici est d'oublier le double produit ou de se tromper dans les signes. La réponse B est la seule correcte. Notez que la réponse C ($4x^2 - 9$) est l'erreur la plus fréquente chez les élèves qui oublient que le carré d'une différence n'est pas la différence des carrés.
Analyse Question 2 : Résoudre une équation produit nul
La deuxième question porte sur l'équation $(x + 1)(2x - 5) = 0$. En mathématiques, la règle de survie est la suivante : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul. Cela nous amène à résoudre deux équations simples du premier degré séparément. D'une part, $x + 1 = 0$, ce qui donne $x = -1$. D'autre part, $2x - 5 = 0$, ce qui se transforme en $2x = 5$ puis $x = \frac{5}{2} = 2,5$. Les solutions sont donc $-1$ et $2,5$. Il faut être extrêmement vigilant avec les signes : beaucoup d'élèves inversent les signes et choisissent par erreur la réponse A. La rigueur dans le passage du terme constant de l'autre côté de l'égalité est cruciale pour obtenir les points. Ici, la réponse C s'impose logiquement.
Analyse Question 3 : Somme de racines carrées (Focus Hors Programme)
La question 3, bien que techniquement simple, touche à une notion parfois jugée hors programme dans les évaluations les plus récentes du DNB, à savoir la réduction d'expressions contenant des radicaux. On nous demande de simplifier $\sqrt{a} + \sqrt{a}$ pour $a > 0$. Le raisonnement est analogue au calcul littéral classique : tout comme $x + x = 2x$, $\sqrt{a} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a}$. C'est une question de dénombrement d'objets mathématiques identiques. Le piège classique est de vouloir fusionner les racines en écrivant $\sqrt{2a}$ ou de penser que la racine s'annule pour donner $a$. Il est essentiel de ne pas confondre $\sqrt{a} + \sqrt{a}$ (l'addition) avec $\sqrt{a} \times \sqrt{a}$ qui donnerait effectivement $a$. La réponse B est la réponse exacte. Maîtriser ces nuances est ce qui différencie un élève moyen d'un excellent élève.
Les Pièges à Éviter au Brevet
Dans un QCM, la rapidité peut être votre ennemie. Pour la question 1, le piège est le 'signe' : l'expression est $(2x-3)^2$, le signe devant le double produit doit être négatif, mais le carré de $-3$ est toujours positif ($+9$). Pour la question 2, le piège est 'l'illusion du signe opposé' : on voit $(x+1)$ et on a tendance à répondre $+1$ machinalement, alors que la solution est $-1$. Pour la question 3, ne confondez jamais l'addition de racines avec la multiplication. Une règle d'or : si vous avez un doute, remplacez $a$ ou $x$ par un petit nombre entier (comme 1 ou 2) pour tester la validité des formules proposées. C'est une astuce de vérification imparable en situation d'examen.
Conseils de Rédaction et Méthodologie
Même si aucune justification n'est attendue, je vous conseille d'utiliser votre brouillon pour écrire chaque étape. Pour le QCM, la consigne est claire : écrivez le numéro de la question et la lettre choisie. Ne perdez pas de temps à recopier l'énoncé. Présentez vos résultats proprement, par exemple : 'Question 1 : Réponse B'. Si vous finissez en avance, utilisez les 10 dernières minutes pour refaire les calculs mentalement. Un point gagné sur un QCM est un point facile, mais un point perdu sur une étourderie peut coûter la mention. Entraînez-vous régulièrement sur les annales de 2016 car elles présentent des structures de calcul littéral très représentatives de ce qui est attendu au Lycée.