Introduction à la modélisation mathématique au Brevet
L'exercice 4 du sujet de mathématiques du Brevet 2015 (Zone Nouvelle-Calédonie) est un grand classique de la mise en équation. Bien que les systèmes d'équations soient aujourd'hui parfois considérés comme hors programme dans le socle commun strict de la classe de troisième, la capacité à traduire un énoncé concret en langage algébrique reste une compétence fondamentale attendue au lycée. Cet exercice demande de jongler entre deux variables interdépendantes : le nombre d'enfants (représentant les véhicules) et le nombre total de roues. Maîtriser ce type de problème, c'est s'assurer une aisance certaine dans la résolution de problèmes complexes où la logique prime sur l'application simple de formules.
Analyse méthodique : La phase de mise en équation
Pour résoudre la première question, la démarche la plus rigoureuse consiste à passer par une phase de choix des inconnues. Soit $x$ le nombre de vélos et $y$ le nombre de tricycles. Le texte nous donne deux informations cruciales que nous devons transformer en égalités mathématiques. La première information concerne le nombre d'enfants : chaque enfant ayant un seul véhicule, on en déduit que la somme des vélos et des tricycles est égale au nombre total d'enfants, soit : $x + y = 64$.
La deuxième information porte sur le nombre de roues ($151$). Un vélo possède $2$ roues et un tricycle en possède $3$. Ainsi, le nombre total de roues est donné par l'expression $2x + 3y = 151$. Nous nous retrouvons face à un système de deux équations à deux inconnues :
1) $x + y = 64$
2) $2x + 3y = 151$.
Résolution pas à pas du système
Pour résoudre ce système, deux méthodes s'offrent à l'élève. La méthode par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans la première équation. Par exemple, $x = 64 - y$. On remplace ensuite cette expression dans la deuxième équation : $2(64 - y) + 3y = 151$. En développant, nous obtenons $128 - 2y + 3y = 151$, ce qui nous mène directement à $128 + y = 151$. En isolant $y$, on trouve $y = 151 - 128 = 23$. Il y a donc $23$ tricycles. Pour trouver $x$, on reprend l'expression $x = 64 - 23$, ce qui donne $x = 41$. Il y a $41$ vélos.
L'autre approche, la méthode par combinaison linéaire, consisterait à multiplier la première ligne par $-2$ pour éliminer les $x$ lors de l'addition des deux lignes. Cette méthode est souvent préférée pour sa rapidité mais nécessite une plus grande attention aux signes négatifs. Quelle que soit la méthode, la vérification est indispensable : $41 + 23$ font bien $64$, et $41 \times 2 + 23 \times 3 = 82 + 69 = 151$. Le compte est bon.
L'approche par tâtonnement : Une stratégie payante
L'énoncé précise : « Tout essai, toute idée exposée et toute démarche, même non aboutis ou mal formulés seront pris en compte ». C'est un conseil précieux pour les élèves qui redoutent l'algèbre. En situation d'examen, si le système d'équations ne vient pas à l'esprit, on peut procéder par essais successifs. Par exemple, si l'on imagine 30 vélos et 34 tricycles (total 64), on calcule le nombre de roues : $30 \times 2 + 34 \times 3 = 60 + 102 = 162$. C'est trop élevé (on cherche 151). On réduit alors le nombre de tricycles, qui ont plus de roues, pour se rapprocher du résultat. Cette démarche de recherche, si elle est écrite proprement sur la copie, permet de récolter une grande partie des points même sans formalisme algébrique.
Analyse de la Question 2 : Application financière
Une fois les effectifs déterminés ($41$ vélos et $23$ tricycles), la seconde question est une simple application numérique de proportionnalité. Chaque vélo rapporte $500$~F, donc les vélos rapportent $41 \times 500 = 20\,500$~F. Chaque tricycle rapporte $400$~F, soit $23 \times 400 = 9\,200$~F. La somme totale reçue par l'association est de $20\,500 + 9\,200 = 29\,700$~F. Attention ici à bien utiliser les valeurs trouvées à la question précédente et à ne pas oublier l'unité (F pour Francs Pacifiques).
Les pièges à éviter et conseils de rédaction
Le piège principal dans cet exercice est de confondre les coefficients associés aux inconnues ($2$ pour les vélos, $3$ pour les tricycles) ou d'inverser les résultats lors de la conclusion. Un autre risque est de ne pas définir les inconnues au début de la rédaction. Un correcteur doit savoir ce que représente $x$ et ce que représente $y$. Enfin, même si le sujet mentionne « hors programme », ne négligez pas la rédaction : une phrase d'introduction, le détail des calculs et une phrase de conclusion claire sont les clés pour obtenir la note maximale. Pour la question 2, assurez-vous que votre addition finale est cohérente avec l'ordre de grandeur attendu.