Introduction aux Fonctions et à la Modélisation au Brevet

L'exercice 3 du sujet Brevet 2026 (Zone Antilles) est un classique incontournable portant sur les fonctions affines, linéaires et constantes. À travers une situation concrète de gestion de tarifs dans un centre de loisirs, cet exercice évalue la capacité de l'élève à modéliser un problème, interpréter des graphiques et utiliser un tableur. Ce type d'exercice représente souvent une part importante des points de l'épreuve de mathématiques en classe de 3ème.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de tarif et premier contact avec l'énoncé

La première question demande de calculer le prix pour 12 demi-journées avec le Tarif B. Pour réussir, il faut bien identifier les deux composantes du tarif : une partie fixe (l'abonnement de 15 €) et une partie variable (3,50 € par séance). Le calcul est donc : $15 + 12 \times 3,50 = 15 + 42 = 57$ €. Cette étape est cruciale car elle permet de valider la compréhension de la structure de la fonction que nous allons manipuler plus tard.

2. Modélisation : Associer fonctions et tarifs

Ici, on nous présente trois expressions algébriques :
- $h(x) = 5,5x$ : C'est une fonction linéaire, car elle est de la forme $ax$. Elle correspond au Tarif A (proportionnalité simple).
- $f(x) = 15 + 3,5x$ : C'est une fonction affine de la forme $ax + b$. Elle correspond au Tarif B avec son coût fixe $b=15$.
- $g(x) = 64$ : C'est une fonction constante. Peu importe la valeur de $x$, le prix reste le même. C'est le Tarif C (le forfait).

3. Interprétation graphique : Savoir lire les droites

Le graphique est l'outil visuel de comparaison par excellence.
- La droite $(d_2)$ est horizontale, elle représente la valeur constante : c'est la fonction $g$.
- La droite $(d_3)$ passe par l'origine du repère $(0,0)$, ce qui caractérise la fonction linéaire $h$ (Tarif A).
- La droite $(d_1)$ coupe l'axe des ordonnées à la valeur 15, ce qui correspond à l'ordonnée à l'origine de la fonction $f$ (Tarif B).

4. La notion de proportionnalité

La question 4 porte sur la nature de la droite $(d_1)$. Une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine. Or, $(d_1)$ coupe l'axe vertical à 15 (le prix de l'abonnement). Ainsi, bien que ce soit une droite, ce n'est pas de la proportionnalité car le rapport prix/séance n'est pas constant si l'on inclut les 15 € de départ.

5. Comparaison de tarifs et lecture graphique

Pour trouver quand le Tarif B devient plus avantageux que le Tarif A, on cherche le point d'intersection entre $(d_1)$ et $(d_3)$. Graphiquement, on observe que pour un nombre de demi-journées $x$ supérieur à une certaine valeur (ici $x=7,5$), la droite rouge $(d_1)$ se situe en dessous de la droite bleue $(d_3)$. Cela signifie que le prix payé est moindre.

6. L'usage du tableur : Formules et automatisation

Le tableur est devenu un pilier du programme de 3ème.
- La formule : Dans la cellule B2, on doit saisir une formule qui utilise la cellule du dessus (B1). La réponse correcte est =15+3,5*B1. Attention à ne pas écrire $x$ dans une formule tableur !
- Comparaison B vs C : En observant le tableau, on voit que pour 13 demi-journées, le Tarif B est à 60,5 €, alors que pour 14 demi-journées, il monte à 64 €. Le Tarif C étant fixe à 64 €, il devient plus avantageux (ou équivalent) à partir de 14 demi-journées.

Les Pièges à Éviter

• Confondre linéaire et affine : Rappelez-vous que seule la fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité pure.
• Les unités : Ne pas oublier de mentionner le symbole € dans les réponses de prix.
• Erreur de cellule : Dans la formule tableur, l'élève tape souvent la valeur numérique au lieu de la référence de la cellule (B1). Cela empêche l'étirement de la formule !

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points, soignez vos justifications. Par exemple, pour la question sur la proportionnalité, ne dites pas juste "non". Écrivez : "La droite $(d_1)$ ne représente pas une situation de proportionnalité car elle ne passe pas par l'origine du repère." Pour les lectures graphiques, il est conseillé de laisser les pointillés apparents sur votre copie pour montrer au correcteur comment vous avez trouvé votre résultat.