Introduction aux fondamentaux du Brevet : Calcul littéral et Tableur

Cet exercice issu de la session 2014 du Brevet des Collèges (Métropole) constitue un pivot classique de l'épreuve de mathématiques. Il mobilise trois compétences transversales essentielles : la manipulation d'un tableur, le calcul littéral (développement et factorisation) et l'arithmétique de base (notion de multiple). L'objectif pédagogique est double : d'une part, vérifier la capacité de l'élève à traduire un problème numérique en une expression algébrique, et d'autre part, valider une conjecture par une démonstration rigoureuse. Maîtriser ce type d'exercice, c'est s'assurer une aisance sur les questions de logique qui reviennent systématiquement à l'examen.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. L'étude de l'exemple numérique

La première question est une phase d'appropriation. On nous propose de tester deux nombres impairs consécutifs : 5 et 7. L'opération demandée est $5 \times 7 + 1$. Le calcul donne $35 + 1 = 36$. Dans cette étape, il ne faut pas se contenter de trouver le résultat. Il faut vérifier la conjecture de Léa : « le résultat est toujours un multiple de 4 ». Or, $36 = 4 \times 9$. L'affirmation est donc vérifiée pour cet échantillon spécifique. Cette phase prépare l'élève à l'abstraction qui suivra.

2. Exploitation des données du tableur

Le tableau présenté est un outil de simulation. Il décompose la structure d'un nombre impair sous la forme $2x + 1$. Si $x$ est un entier, alors $2x$ est pair, et $2x+1$ est forcément impair. Le nombre suivant est $2x+3$.
Question 2.a : On cherche le résultat pour le premier nombre impair 17. En observant la colonne B du tableau, on remarque que pour obtenir 17, il faut que $2x + 1 = 17$, soit $2x = 16$, d'où $x = 8$. En regardant la ligne 11 (où $x=8$), la colonne E indique directement le résultat : 324.
Question 2.b : Il s'agit de prouver que 324 est un multiple de 4. Une simple division euclidienne montre que $324 = 4 \times 81$. Le reste est nul, la propriété est vérifiée.
Question 2.c : L'analyse des formules de tableur est cruciale. La cellule D3 correspond au produit des deux nombres impairs (colonnes B et C). La Formule 3 (= B3*C3) est la plus directe. Cependant, comme B3 contient $2x+1$ (soit $2 \times A3 + 1$) et C3 contient $2x+3$ (soit $2 \times A3 + 3$), la Formule 1 (= (2*A3+1)*(2*A3+3)) est également correcte car elle revient au même calcul en utilisant la variable d'origine $x$ située en colonne A.

3. La démonstration algébrique : Le cœur du sujet

C'est ici que l'exercice bascule vers la preuve universelle.
Question 3.a : On doit développer $(2x + 1)(2x + 3) + 1$.
En utilisant la double distributivité : $(2x \times 2x) + (2x \times 3) + (1 \times 2x) + (1 \times 3) + 1$.
Ce qui donne $4x^2 + 6x + 2x + 3 + 1$, soit après réduction : $4x^2 + 8x + 4$.
Question 3.b : Pour prouver que c'est un multiple de 4, l'astuce consiste à factoriser par 4.
$4x^2 + 8x + 4 = 4(x^2 + 2x + 1)$.
Puisque $x$ est un entier, alors $x^2 + 2x + 1$ est aussi un entier. L'expression est de la forme $4 \times K$, ce qui prouve mathématiquement que Léa a raison pour n'importe quel nombre de départ.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal réside dans la lecture du tableur. Beaucoup d'élèves confondent le contenu d'une cellule (la valeur affichée) et la formule (l'opération sous-jacente). Dans la question 2.c, ne vous laissez pas déstabiliser par la syntaxe. Une formule de tableur commence toujours par « = » et utilise les noms de cellules.
Un autre écueil classique est l'erreur de signe ou l'oubli du « +1 » lors du développement de l'expression algébrique. Soyez rigoureux dans vos étapes de calcul : développez d'abord le produit des parenthèses, puis ajoutez la constante.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre argumentation. Pour la question 3.b, ne vous contentez pas d'écrire le résultat. Utilisez une phrase de conclusion type : « L'expression obtenue est factorisable par 4, elle est donc un multiple de 4 pour toute valeur de x ». N'oubliez pas non plus d'expliquer brièvement comment vous trouvez une valeur dans le tableur (ex: « par lecture graphique dans la cellule E11 »). La clarté de votre raisonnement compte autant que l'exactitude du résultat numérique.