Introduction aux Probabilités au Brevet

Le sujet du Brevet de Mathématiques 2024 (Métropole) s'ouvre sur une notion fondamentale du programme de 3ème : les probabilités. À travers l'exemple classique de la roulette de casino, cet exercice évalue la capacité de l'élève à identifier des issues, à calculer des probabilités simples et composées, et à manipuler des événements contraires. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour décrocher les points sur cette partie de l'épreuve, car les raisonnements sont souvent répétitifs mais exigent une grande rigueur dans la lecture de l'énoncé.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice commence par poser le cadre : une roulette numérotée de 0 à 36. C'est ici que se trouve le premier point de vigilance. Beaucoup d'élèves font l'erreur de considérer qu'il y a 36 numéros, oubliant que le 0 est une issue à part entière. On compte donc $36 + 1 = 37$ issues possibles.

1. Pourquoi la probabilité d'obtenir le 7 est $\dfrac{1}{37}$ ?

Il s'agit d'une situation d'équiprobabilité. L'énoncé précise explicitement que la bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro. Pour justifier la réponse, l'élève doit citer la formule du cours : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}$. Ici, il n'y a qu'une seule case portant le numéro 7 (1 issue favorable) sur un total de 37 cases. La probabilité est donc bien de $\dfrac{1}{37}$. Cette question teste la compréhension de la structure de l'espace échantillonnal.

2. Probabilité d'une case noire et paire

Cette question demande une analyse plus fine des caractéristiques des numéros. L'élève doit identifier l'intersection de deux ensembles : l'ensemble des numéros noirs et l'ensemble des numéros pairs. Pour réussir, il faut observer attentivement le schéma ou s'appuyer sur sa connaissance des jeux de hasard (bien que l'observation du document fourni soit prioritaire). Si l'élève ne dispose pas de la liste exhaustive, il doit déduire des données visuelles quels numéros satisfont les deux conditions simultanément. Attention : le 0 n'est généralement ni noir ni rouge au casino (il est vert), et il est considéré comme pair, mais il faut s'en tenir aux couleurs indiquées sur la roulette. L'identification correcte du numérateur est ici la clé.

3. Événements contraires et comparaisons

La question 3 introduit une séquence logique très classique au Brevet :

• 3.a. Numéro inférieur ou égal à 6 : Les issues favorables sont {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Il y a donc 7 issues favorables. La probabilité est $\dfrac{7}{37}$.
• 3.b. En déduire la probabilité d'un numéro supérieur ou égal à 7 : Le terme "En déduire" est un indice crucial. Il invite à utiliser le résultat précédent. L'événement "supérieur ou égal à 7" est l'événement contraire de "inférieur ou égal à 6". La somme des probabilités d'un événement et de son contraire est égale à 1. Ainsi, $P(\text{supérieur ou égal à 7}) = 1 - P(\text{inférieur ou égal à 6}) = 1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{37}{37} - \dfrac{7}{37} = \dfrac{30}{37}$.
• 3.c. Comparaison de chances : Le joueur affirme avoir plus de 3 chances sur 4. Il faut donc comparer $\dfrac{30}{37}$ et $\dfrac{3}{4}$. Pour cela, on peut passer par les écritures décimales : $\dfrac{30}{37} \approx 0,81$ et $\dfrac{3}{4} = 0,75$. Comme $0,81 > 0,75$, le joueur a raison.

Les Pièges à éviter

Le piège majeur dans cet exercice de probabilités est le dénominateur. L'omission du zéro fausse tous les calculs suivants. Un autre piège réside dans la lecture des consignes : la différence entre "inférieur" ($<$) et "inférieur ou égal" ($\le$) peut changer le nombre d'issues favorables. Enfin, dans la question 3b, n'essayez pas de compter les numéros de 7 à 36 un par un ; utilisez la propriété de l'événement contraire pour gagner du temps et éviter les erreurs de comptage.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Nommez vos événements (ex: "Soit A l'événement : obtenir le 7").
2. Rappelez toujours la formule littérale avant de passer aux chiffres.
3. Présentez les résultats sous forme de fraction simplifiée ou d'écriture décimale selon la demande.
4. Pour les justifications de type "A-t-il raison ?", faites une phrase de conclusion claire en comparant les valeurs numériques obtenues.

Conclusion pédagogique

Cet exercice sur la roulette est un excellent test de fin de cycle 4. Il mobilise la lecture de documents, le calcul fractionnaire et la logique probabiliste. En comprenant que la probabilité est un rapport entre les cas favorables et les cas possibles, l'élève se dote d'un outil puissant pour interpréter les situations de hasard rencontrées au quotidien et lors des examens nationaux.