Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths 2025 - Polynésie (Sujet 2)

Le sujet de mathématiques du Baccalauréat 2025 pour la zone Polynésie (Session 2, 18 juin) propose un équilibre intéressant entre les grands thèmes du programme. Il s'agit d'un sujet classique mais exigeant, qui demande une bonne maîtrise des probabilités conditionnelles, de l'analyse de fonctions logarithmes, de la géométrie dans l'espace et des raisonnements divers (Vrai/Faux).

Exercice 1 : Probabilités, Suites et Python (5 points)

Cet exercice modélise une transmission de données binaires par des machines, un contexte concret souvent apprécié pour introduire des probabilités.

• Partie A : Probabilités et Suites. Le candidat commence par modéliser la situation avec un arbre pondéré. La difficulté réside dans le passage de la situation concrète à la suite arithmético-géométrique $p_{n+1} = 0,8p_n + 0,1$. Il faut maîtriser la formule des probabilités totales. Une démonstration par récurrence est ensuite demandée pour expliciter la suite, suivie d'un calcul de limite. C'est un classique du genre : Probas $\to$ Suites $\to$ Limites.
• Partie B : Algorithmique. L'analyse d'une fonction Python simulation(n) est requise. L'élève doit comprendre la logique d'une boucle et la simulation d'une loi de Bernoulli (succès/échec). Il faut interpréter les listes renvoyées pour calculer des probabilités correspondant à des schémas de Bernoulli (répétition d'épreuves indépendantes).

Exercice 2 : Analyse de Fonction et Convexité (5 points)

C'est le "gros morceau" d'analyse du sujet, portant sur la fonction $f(x) = x \ln(x - 2)$.

• Limites et Dérivées : L'ensemble de définition $]2 ; +\infty[$ impose une étude fine de la limite en 2 (forme indéterminée ou non selon l'écriture, ici limite directe possible). Le calcul de la dérivée demande de bien gérer la dérivée d'un produit $u \times v$.
• Fonction auxiliaire : Le sujet guide l'élève en introduisant $g(x) = f'(x)$. Il faut dériver cette dérivée (donc calculer $f''(x)$) pour obtenir les variations de $f'$. C'est une méthode standard pour déterminer le signe de la dérivée première lorsque celui-ci n'est pas évident.
• Convexité : L'étude du signe de la dérivée seconde permet de conclure sur la convexité et la présence d'un point d'inflexion.
• Théorème des valeurs intermédiaires : La dernière question sur le nombre de tangentes de coefficient directeur 3 revient à résoudre $f'(x) = 3$, nécessitant l'utilisation du TVI sur la fonction $g$.

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Un exercice très structuré qui balaye l'ensemble des compétences attendues en géométrie vectorielle.

• Plan et Orthogonalité : Il faut d'abord prouver que trois points définissent un plan (vecteurs non colinéaires), puis démontrer qu'un vecteur est normal à ce plan pour en déduire une équation cartésienne de type $ax + by + cz + d = 0$.
• Représentation paramétrique : L'élève doit paramétrer une droite orthogonale au plan passant par un point donné.
• Projeté orthogonal et Volume : Le calcul des coordonnées du projeté orthogonal est une étape clé pour déterminer la hauteur d'un tétraèdre et, in fine, son volume.
• Intersection Droite/Plan : L'exercice se termine par l'étude de la position relative d'une nouvelle droite et du plan (sécants ou parallèles), une question qui demande de tester l'orthogonalité du vecteur directeur de la droite avec le vecteur normal du plan.

Exercice 4 : Vrai ou Faux (5 points)

Cet exercice teste la culture mathématique globale et la capacité à justifier rigoureusement.

• Affirmation 1 (Combinatoire) : Comparaison entre un arrangement (p-uplet d'éléments distincts) et une combinaison. Attention aux notations et aux calculs factoriels.
• Affirmation 2 (Calcul intégral) : Comparaison d'aires. Il faut calculer l'intégrale de la fonction carré $\int_0^3 x^2 dx$ et la comparer à l'aire du carré $3 \times 3$.
• Affirmation 3 (Intégration par parties) : Calcul explicite de l'intégrale $\int_1^2 x \ln(x) dx$. Une IPP standard où l'on dérive le logarithme.
• Affirmation 4 (Équations différentielles) : Vérification de solution. Il suffit de dériver la fonction proposée et de tester si elle vérifie l'égalité $y' = 2y - e^x$.
• Affirmation 5 (Limites de suites) : Étude d'une suite avec exponentielle et cosinus. Le terme dominant est l'exponentielle, mais le signe dépend du facteur $(x-1)$ qui est négatif car $x \in [0; 1[$. C'est le piège principal.