Compétences et clés de réussite

L'exercice 3 du baccalauréat de mathématiques de la session 2026, tombé en Polynésie pour le Sujet 1, est un grand classique des sujets d'examen. Il propose une étude très complète liant intimement l'analyse de fonctions, en particulier la fonction logarithme népérien, et le domaine des suites numériques. C'est un exercice incontournable pour consolider ses méthodes sur l'étude des suites récurrentes de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$.

Analyse d'une suite récurrente et raisonnement par récurrence

La Partie A de cet exercice se concentre sur l'étude d'une suite $(u_n)$ dont la relation de récurrence fait intervenir une composition avec la fonction logarithme. Voici les savoir-faire majeurs évalués :

• Calcul de termes et lecture graphique : Il est attendu du candidat de savoir calculer les premiers termes d'une suite de manière exacte puis approchée, et de savoir exploiter un nuage de points pour émettre des conjectures pertinentes sur la monotonie et le comportement asymptotique (la convergence) de la suite. Cette étape de conjecture est primordiale pour orienter la suite de la résolution.
• Le raisonnement par récurrence : Compétence absolue en Terminale, la récurrence est ici utilisée pour démontrer simultanément la monotonie de la suite et son encadrement. Il faut faire preuve de rigueur : de l'initialisation, souvent triviale, jusqu'à l'hérédité où l'on utilise de façon cruciale le sens de variation de la fonction génératrice $f$ sur l'intervalle considéré. En effet, appliquer une fonction croissante de part et d'autre d'une inégalité en conserve le sens, un argument qu'il faut absolument expliciter dans sa copie.
• Théorème de convergence monotone : L'objectif final de cette première partie est de justifier la convergence de la suite. Le théorème stipulant que « toute suite croissante et majorée est convergente » doit être connu sur le bout des doigts et appliqué correctement en se référant aux résultats obtenus par récurrence.

Étude de fonction et équation de limite

La Partie B bascule vers l'analyse fonctionnelle pour déterminer la valeur exacte, ou plutôt une valeur approchée, de la limite $\ell$ de la suite. Sachant que la suite converge vers $\ell$ et que la fonction $f$ est continue, la limite vérifie nécessairement l'équation $\ell = f(\ell)$, ce qui amène à l'étude de la fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x$.

• Dérivation d'une fonction composée : La dérivée de la fonction $x \mapsto \ln(u(x))$ est requise pour déterminer l'expression de $g'(x)$. Maîtriser les règles de calcul des dérivées, notamment pour obtenir des expressions rationnelles factorisées dont on peut facilement étudier le signe, est indispensable.
• Étude des variations : L'étude du signe de $g'(x)$ repose souvent sur l'étude du signe d'un trinôme du second degré (ici le numérateur). Il s'agit de mobiliser ses acquis de classe de Première (calcul du discriminant, recherche des racines, étude du signe à l'extérieur des racines) pour établir le tableau de variations de la fonction $g$.
• Corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Pour démontrer l'existence et l'unicité de la solution $\alpha$ à l'équation $g(x) = 0$ sur un intervalle donné, il faut vérifier trois conditions : la continuité de la fonction, sa stricte monotonie (ici la stricte décroissance sur l'intervalle $[2 ; 4]$), et le fait que $0$ soit compris entre les images des bornes de l'intervalle. C'est l'un des théorèmes les plus fréquemment exigés au baccalauréat.
• Recherche d'une valeur approchée : Enfin, l'utilisation pertinente de la calculatrice, par la méthode du balayage ou par l'utilisation d'un solveur, permet d'encadrer la solution et d'en donner une valeur approchée à la précision demandée.

En somme, ce sujet du bac Polynésie 2026 (Sujet 1) offre une belle synthèse des capacités d'analyse attendues en fin de Terminale. Travailler ce type d'exercice vous permet non seulement de revoir le logarithme népérien et la dérivation, mais surtout d'automatiser les réflexes liés aux démonstrations par récurrence et au théorème des valeurs intermédiaires, des outils indispensables pour viser l'excellence.