Compétences et clés de réussite

Cet exercice propose une étude approfondie d'une famille de fonctions paramétrées faisant intervenir la fonction logarithme népérien. Il balaie un large spectre du programme de spécialité mathématiques en classe de terminale, structuré en trois parties distinctes et progressives, évaluant des compétences variées allant de l'analyse graphique au calcul intégral, en passant par la résolution algorithmique.

Lecture graphique et convexité

La première partie met à l'épreuve les capacités d'analyse graphique de l'élève. Il s'agit d'abord de faire le lien direct entre le tracé d'une fonction et les variations de l'une de ses primitives. Pour réussir avec succès cette étape, il est indispensable de se rappeler que le sens de variation d'une primitive dépend exclusivement du signe de la fonction initiale. Ensuite, un travail analytique sur la convexité est demandé. En s'appuyant rigoureusement sur le point d'inflexion visible sur la courbe représentative, l'élève doit être capable de discriminer les représentations de la dérivée première et de la dérivée seconde. La parfaite maîtrise du lien théorique entre le point d'inflexion, le changement de signe de la dérivée seconde et les variations de la dérivée première est la véritable clé de cette section de l'exercice.

Analyse fonctionnelle, limites et algorithme Python

La deuxième partie se concentre sur l'étude analytique approfondie d'un cas particulier, sans paramètre. Le travail débute par le calcul d'une fonction dérivée, opération qui nécessite de connaître sur le bout des doigts les formules usuelles de dérivation, tout particulièrement celle de la dérivée d'un quotient impliquant un logarithme. L'étude du comportement asymptotique aux bornes de l'intervalle exige de la part du candidat de mobiliser les théorèmes de croissances comparées pour pouvoir déterminer sans équivoque les limites en l'infini et en zéro.

Une fois les variations de la dérivée solidement justifiées, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (souvent appelé théorème de la bijection) intervient pour attester de l'existence et de l'unicité d'une solution à l'équation annulant la dérivée. Cette étape d'analyse théorique trouve un écho pratique immédiat avec l'étude d'un algorithme rédigé en langage Python. L'élève est invité à compléter un script informatique qui met en place une boucle "while". Cela requiert d'avoir bien compris le principe algorithmique de recherche de solution par balayage, d'identifier avec précision la condition d'arrêt pertinente et de définir le pas d'incrémentation adéquat.

Calcul intégral, primitives et valeur moyenne

La troisième et ultime partie de l'exercice plonge dans l'univers du calcul intégral. Au lieu de réclamer une intégration par parties laborieuse, le sujet guide subtilement l'élève en lui soumettant une fonction qu'il devra dériver pour prouver qu'il s'agit d'une primitive correcte. Cette manœuvre met en exergue la nécessité de savoir dériver une fonction composée de la forme u². Une fois l'expression de la primitive validée, l'élève calcule la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle donné. Cette ultime manipulation permet de dresser une équation ayant pour inconnue le paramètre initial, couronnant ainsi la capacité du candidat à synthétiser les concepts d'intégration et de résolution algébrique.