Compétences et clés de réussite

Cet exercice de spécialité mathématiques du Bac 2023 (Métropole, Sujet 1) propose une situation classique de modélisation d'évolution (ici, le nombre de questions sur une FAQ). Il confronte deux approches : une suite définie par récurrence et une suite définie explicitement à l'aide de la fonction exponentielle.

Partie A : Suites arithmético-géométriques et Python

La première modélisation repose sur une suite de type $u_{n+1} = au_n + b$. Pour réussir cette partie, les élèves doivent maîtriser :

• Le calcul des premiers termes : Essentiel pour conjecturer le sens de variation et comprendre le mécanisme d'évolution.
• Le raisonnement par récurrence : Une démonstration rigoureuse est attendue pour prouver la formule explicite de la suite $u_n$ en fonction de $n$.
• L'étude des variations : Il faut savoir utiliser l'expression explicite ou la relation de récurrence pour démontrer que la suite est croissante.
• L'algorithmique en Python : L'exercice demande d'interpréter une fonction contenant une boucle while. Il faut comprendre que cet algorithme cherche le premier rang $n$ pour lequel la suite dépasse un seuil donné (recherche de seuil).

Partie B : Modélisation exponentielle

La seconde modélisation utilise une suite $(v_n)$ faisant intervenir la fonction exponentielle ($e^{-0,19(n-1)}$). Les points clés sont :

• L'évaluation numérique précise des termes.
• La résolution d'inéquations avec exponentielles : Pour déterminer quand le seuil de 8,5 (soit 850 questions) est dépassé, l'élève doit isoler l'exponentielle puis utiliser le logarithme népérien ($\\ln$) en respectant le sens des inégalités (division par un nombre négatif possible).

Partie C : Comparaison critique et limites

Cette partie de synthèse demande de comparer les résultats des deux modèles :

• Comparer les rangs $n$ trouvés précédemment pour savoir quel modèle atteint le seuil critique le plus tôt.
• Calculer des limites : L'étude du comportement "à long terme" nécessite de calculer la limite des deux suites quand $n$ tend vers l'infini. Il faut savoir que la limite de $q^n$ avec $0 < q < 1$ est 0, tout comme la limite de $e^{-X}$ quand $X$ tend vers l'infini.

Cet exercice est un excellent entraînement pour vérifier la maîtrise des outils d'analyse (suites, fonctions) appliqués à une prise de décision concrète.