Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2021 (Centres Étrangers, numéro 7) propose une étude classique de modélisation mathématique appliquée à l'écologie (panneaux solaires), divisée en deux approches : une discrète avec les suites numériques et une continue avec une fonction exponentielle.

Partie A : Modélisation par les suites

La première partie exige une maîtrise solide des suites arithmético-géométriques de la forme \(u_{n+1} = a u_n + b\). Les points clés pour réussir cette partie comprennent :

• L'interprétation du modèle : Savoir traduire un énoncé concret (diminution de pourcentage et ajout constant) en relation de récurrence.
• L'algorithmique : Comprendre la structure d'une boucle while (tant que) en Python pour déterminer un seuil. Il faut identifier correctement la condition d'arrêt et l'incrémentation des variables.
• Le raisonnement par récurrence : Une compétence fondamentale pour démontrer une propriété de majoration (\(u_n \leqslant 12500\)) pour tout entier naturel \(n\).
• L'étude de convergence : Utiliser le théorème de convergence monotone (suite croissante et majorée) pour justifier l'existence d'une limite.
• Le passage par une suite auxiliaire : Technique classique consistant à introduire une suite géométrique \((v_n)\) pour exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). Cela nécessite de savoir calculer les premiers termes, la raison, et d'appliquer les formules de limites de suites géométriques (\(q^n\) avec \(0 < q < 1\)).

Partie B : Modélisation par une fonction

La seconde partie aborde le problème sous l'angle de l'analyse fonctionnelle. Les compétences sollicitées sont :

• La dérivation de fonctions composées : Savoir dériver une expression du type \(e^{u(x)}\). Ici, la maîtrise des signes est cruciale pour déterminer le sens de variation de la fonction \(f\) sur \([0; +\infty[\).
• Le calcul de limites : Déterminer le comportement asymptotique de la fonction en \(+\infty\), en sachant que \(\lim_{X \to -\infty} e^X = 0\).
• La résolution d'inéquations : Être capable de résoudre \(f(x) > k\) en isolant l'exponentielle puis en utilisant le logarithme népérien (\(\\ln\)) pour extraire l'inconnue \(x\).

Cet exercice est un excellent entraînement car il combine les deux piliers majeurs du programme de Terminale Spécialité : l'analyse de l'évolution discrète et continue.