Analyse de l'Exercice 2 : Probabilités et Suites - Bac 2023 Étrangers Groupe 2 (Sujet 1)

Cet exercice est un classique des épreuves du Baccalauréat en mathématiques, mêlant modélisation probabiliste et analyse de suites numériques. Il s'appuie sur une situation concrète (le choix d'un mode de transport) pour évaluer la capacité des élèves à passer d'une modélisation par arbres pondérés à une étude analytique de l'évolution des probabilités sur le long terme.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux du programme de spécialité mathématiques :

• Modélisation par arbres pondérés : Savoir traduire un énoncé en arbre de probabilité est la première étape cruciale. Il faut identifier les probabilités conditionnelles (les branches secondaires) et les probabilités des événements à l'étape $n$.
• Formule des probabilités totales : C'est l'outil mathématique qui permet de faire le lien entre l'étape $n$ et l'étape $n+1$. Elle est indispensable pour établir la relation de récurrence de la suite $(p_n)$.
• Probabilités conditionnelles inversées : Savoir calculer la probabilité d'une cause sachant la conséquence (souvent formulée comme « sachant qu'il a pris son vélo le jour 3, quelle est la probabilité qu'il ait... la veille »).
• Suites arithmético-géométriques : L'exercice débouche sur une suite de la forme $u_{n+1} = au_n + b$. Bien que la formule explicite soit souvent donnée à démontrer, comprendre la dynamique de ces suites est un atout.
• Raisonnement par récurrence : Une compétence rédactionnelle majeure pour valider la formule explicite de la suite.
• Calcul de limites : Déterminer le comportement asymptotique de la suite pour interpréter la situation à long terme (état stable).

Conseils méthodologiques pour la résolution

1. Construction de l'arbre et calculs initiaux

La première partie demande de compléter un arbre pour les premiers jours ($n=2, n=3$). Soyez attentifs aux sommes des probabilités issues d'un même nœud qui doivent toujours valoir 1. Pour calculer $p_3$ (probabilité de prendre les transports le 3ème jour), vous devrez sommer les probabilités des chemins menant à l'événement $T_3$.

2. Transition vers la suite numérique

La question demandant de compléter l'arbre au rang $n$ généralise la situation. L'objectif est d'exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$. Pour cela, appliquez la formule des probabilités totales : $P(T_{n+1}) = P(T_n \cap T_{n+1}) + P(V_n \cap T_{n+1})$. En remplaçant les intersections par les produits des probabilités (probabilité de l'événement précédent $\times$ probabilité conditionnelle), vous obtiendrez la relation de récurrence $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6$.

3. Démonstration et Limite

Pour la démonstration par récurrence, respectez scrupuleusement les trois étapes : initialisation, hérédité et conclusion. L'objectif est de prouver que $p_n = 0,75 + 0,25 \times 0,2^{n-1}$. Enfin, pour la limite, rappelez-vous que la limite de $q^n$ tend vers 0 si $-1 < q < 1$. L'interprétation concrète du résultat final (généralement une convergence vers une valeur stable) permet de conclure sur la tendance à long terme des habitudes de Monsieur Durand.