Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2023 (Métropole, Sujet 2) propose une étude classique mais riche d'une fonction composée faisant intervenir le logarithme népérien et l'exponentielle. Il mobilise des savoir-faire essentiels du programme de Terminale en analyse.

1. Analyse de la fonction et dérivation

La première partie de l'exercice demande une maîtrise parfaite des limites de fonctions composées. L'élève doit savoir gérer le comportement de l'exponentielle en moins l'infini et en plus l'infini pour en déduire celui du logarithme. Une attention particulière doit être portée à la limite en $+\infty$ qui nécessite de connaître la limite de $\ln(1)$.

Pour la dérivation, la formule de la dérivée de $\ln(u)$, soit $\frac{u'}{u}$, est indispensable. Le calcul mène à une expression qu'il faut savoir manipuler pour correspondre à la forme demandée par l'énoncé. L'étude du signe de cette dérivée (ici strictement négative car le dénominateur est strictement positif) permet de dresser le tableau de variations.

2. Convexité et position relative

Le cœur de l'exercice réside dans l'étude de la convexité. Les candidats doivent savoir démontrer qu'une fonction est convexe, généralement en étudiant le signe de la dérivée seconde ou le sens de variation de la dérivée première. Ici, la convexité permet d'établir une inégalité fondamentale : la courbe d'une fonction convexe est toujours située au-dessus de ses tangentes. L'équation de la tangente $T_0$ au point d'abscisse 0 se calcule via la formule $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.

3. Propriétés géométriques et symétrie

La dernière partie introduit une dimension géométrique intéressante. Il s'agit de prouver une égalité algébrique reliant $f(x)$ et $f(-x)$. Cette manipulation prépare le terrain pour démontrer que la corde reliant deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées ($M_a$ et $N_a$) est parallèle à la tangente en 0. Pour réussir, l'élève doit être capable de calculer le coefficient directeur d'une droite passant par deux points et de le comparer à celui de la tangente $T_0$.

En résumé, cet exercice est un excellent entraînement pour lier calcul algébrique, étude de variations, convexité et interprétation graphique.