Analyse globale de l'exercice

Cet exercice 3 du sujet de Baccalauréat Mathématiques Polynésie 2024 (Sujet 1) propose une modélisation classique à l'aide de suites numériques. Il s'agit d'étudier un empilement de boules formant une pyramide à base carrée. Le problème mêle une approche concrète (calcul des premiers termes), une approche algorithmique (programmation Python) et une démonstration théorique rigoureuse (raisonnement par récurrence). C'est un exercice complet pour évaluer la maîtrise des outils d'analyse discrète.

Compétences et clés de réussite

1. Modélisation et calcul de termes

La première étape consiste à comprendre la loi de formation de la suite. Ici, le nombre de boules à l'étage $n$ est donné par une formule explicite simple ($u_n = n^2$). La clé est de bien distinguer le terme général $u_n$ de la somme partielle $S_n$ (le nombre total de boules). Il faut être capable de calculer manuellement les premiers termes pour s'approprier le problème.

2. Algorithmique et langage Python

L'exercice intègre une question de programmation. Pour compléter la fonction pyramide(n), vous devez maîtriser :

• La notion de boucle for et la fonction range(a, b) (qui s'arrête à $b-1$).
• Le principe de l'accumulateur : savoir mettre à jour une variable de somme (ici S) à chaque itération en lui ajoutant le terme courant.

3. Calcul algébrique et identités

Une question intermédiaire demande de vérifier une égalité algébrique. La méthode la plus sûre est souvent de développer séparément les deux membres de l'égalité ou de partir de l'expression la plus complexe pour la simplifier. La maîtrise du développement, de la factorisation et de la mise au même dénominateur est indispensable pour ne pas bloquer sur la suite.

4. Le raisonnement par récurrence

C'est le cœur théorique de l'exercice. Il s'agit de démontrer la formule classique de la somme des carrés des $n$ premiers entiers. Une rédaction rigoureuse est attendue :

• Initialisation : Vérifier la propriété au premier rang.
• Hérédité : Supposer la propriété vraie au rang $n$ et démontrer qu'elle l'est au rang $n+1$. L'astuce consiste à utiliser la relation $S_{n+1} = S_n + u_{n+1}$ et l'égalité algébrique démontrée à la question précédente.
• Conclusion : Rappeler la propriété démontrée pour tout $n$.

5. Résolution de problème (Seuil)

La dernière question demande de trouver la plus grande pyramide possible avec un stock donné (200 oranges). Il s'agit d'une recherche de seuil. Puisque la suite est croissante, vous pouvez procéder par tâtonnement intelligent ou utiliser la formule démontrée précédemment pour tester des valeurs de $n$.